【金版學案】2015-2016學年高中數學第一講座標係本講小結新人教a版選修4-4
一、基本內容簡介
1．極座標的有關概念；平面上點的直角座標(x，y)和極座標(ρ，θ)的意義以及二者間的相互關係．
2．空間中點的直角座標(x，y，z)和柱座標(ρ，θ，z)、球面座標(r，φ，θ)的意義，以及它們之間的相互關係．
3．平面上曲線的極座標方程的概念及求法．
4．過極點以及與極軸垂直的直線的極座標方程的形式．
5．過極點且圓心在極軸上的圓的極座標方程的形式，它與該圓的直角座標方程的互化．類似討論過極點且圓心在射線θ＝±上的圓的極座標方程．
二、求曲線極座標方程
1．求極座標方程的方法．求曲線的極座標方程的方法和步驟與求直角座標方程的方法類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡．將已知條件用曲線上的點的極座標ρ、θ的關係式f(ρ，θ)＝0表示出來，就得到曲線的極座標方程．具體步驟如下：
(1)建立適當的極座標系，設p(ρ，θ)是曲線上任意一點．
(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關係式．
(3)將列出的關係式進行整理、化簡，得出曲線的極座標方程．
(4)證明所得方程就是曲線的極座標方程，若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，證明可以省略．
2．求平面曲線的極座標方程，就是要找極徑ρ和極角θ之間的關係，常用解三角形(正弦定理、餘弦定理)的知識，利用三角形的面積相等來建立ρ、θ之間的關係．
三、柱座標與球座標
1．柱座標．
設空間中一點m的直角座標為(x，y，z)，點m在oxy座標面上的投影點為m0，點m0在oxy平面上的極座標為(ρ，θ)，如圖甲所示，則三個有序數ρ，θ，z構成的陣列(ρ，θ，z)稱為空間中點m的柱座標．在柱座標中，限定ρ≥0，0≤θ<2π，z為任意實數．由此可見，柱座標就是平面上的極座標加上與平面垂直的乙個直角座標．因此，由平面上極座標和直角座標的變換公式容易得到空間直角座標與柱座標的變換公式
在極座標中，方程ρ＝ρ0(ρ0為不等於0的常數)表示圓心在極點，半徑為ρ0的圓，方程θ＝θ0(θ0為常數)表示與極軸成θ0角的射線．而在空間的柱座標系中，方程ρ＝ρ0表示中心軸為z軸，底半徑為ρ0的圓柱面，它是上述圓周沿x軸方向平行移動而成的．方程θ＝θ0表示與oxz座標麵成θ0角的半平面．方程z＝z0表示平行於oxy座標面的平面(如圖乙所示)．常把上述的圓柱面、半平面和平面稱為柱座標系的三族座標面．
2．球座標．
設空間中一點m的直角座標為(x，y，z)，點m在oxy座標面上的投影點為m0，連線om和om0.
如下圖所示，設z軸的正向與向量的夾角為φ，x軸的正向與的夾角為θ，點m到原點o的距離為r，則由三個數r，θ，φ構成的有序陣列(r，φ，θ)稱為空間中點m的球座標．若設投影點m0在oxy平面上的極座標為(ρ，θ)，則極座標θ就是上述的第二個球座標θ，在球座標中限定r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π.
下面給出點m的直角座標與球座標的變換公式．
由圖可知z＝rcos φ，ρ＝rsin φ，
而x＝ρcos θ＝rsin φcos θ，y＝ρsin θ＝rsin φsin θ，
由此得座標變換公式：
在空間的球座標系中，方程r＝r0(r0為正常數)表示球心在原點，半徑為r0的球面；方程θ＝θ0(0≤θ0<2π)表示過z軸的半平面，它與oxz座標面的夾角為θ0；方程φ＝φ0(0≤φ≤π)表示頂點在原點，半頂角為φ0的圓錐面，它的中心軸是z軸，φ0《時它在上半空間，φ0>時它在下半空間，φ0＝時它是oxy平面，如下圖所示：
四、極座標系與直角座標系的有關問題
1．極徑是距離，當然是正的，可為何又有「負極徑」的概念呢？「負極徑」中的「負」的含義是什麼？
名師剖析：根據極徑定義，極徑是距離，當然是正的．極徑是負的，等於極角增加π.負極徑的負與數學中歷來的習慣相同，用來表示「反向」，比較來看，負極徑比正極徑多了乙個操作：
將射線op「反向延長」．而反向延長也可以說成旋轉π，因此，所謂「負」實質是管方向的．如：直角座標系中點的座標是負的；兩個向量對應的數一正一負，方向也表示是相反的．
一般情況下，如果不做特殊說明，極徑指的都是正的．
2．為何我們不要把對直角座標系內的點和曲線的認識套用到極座標系內？用極座標與直角座標來表示點和曲線時，二者究竟有哪些明顯的區別呢？
名師剖析：(1)在平面直角座標系內，點與有序實數對即座標(x，y)是一一對應的，可是在極座標系內，雖然乙個有序實數對(ρ，θ)只能與乙個點p對應，但乙個點p卻可以與無數多個有序實數對(ρ，θ)對應．例如(ρ，2nπ＋θ)與(－ρ，(2n＋1)π＋θ)(n為整數)表示的是同乙個點，所以點與有序實數對極座標(ρ，θ)不是一一對應的．
(2)在直角座標系內，一條曲線如果有方程，那麼曲線和它的方程是一一對應的(解集完全相同且互相可以推導的等價方程，只看作乙個方程)．可是在極座標系內，雖然是乙個方程只能與一條曲線對應，但一條曲線卻可以與多個方程對應，所以曲線和它的方程不是一一對應的．
(3)在直角座標系內，曲線上每一點的座標一定適合它的方程，可是在極座標系內，曲線上一點的所有座標不一定都適合方程．例如給定曲線ρ＝θ，設點p的一極座標為，那麼點p適合方程ρ＝θ，從而是曲線上的乙個點，但點p的另乙個極座標就不適合方程ρ＝θ了．所以在極座標系內，確定某乙個點p是否在某一曲線c上，只需判斷點p的極座標中是否有一對座標適合曲線c的方程即可．
五、幾點需注意的問題
1．平面直角座標系中的伸縮變換．
函式y＝f(ωx)(x∈r，ω>0，且ω≠1)的圖象可以看作是f(x)圖象上所有點的橫座標縮短(當ω＞1時)到原來的或伸長(當0＜ω＜1時)為原來的ω倍而得到的(縱座標不變)．函式y＝af(x)(x∈r，a>0，且a≠1)的圖象可以看作是f(x)圖象上所有點的縱座標伸長(當a>1時)到原來的a倍或縮短(當0圖形變換中的伸縮變換我們可記作變換公式在使用時，需分清新舊座標．
2．極座標系及直線與圓的極座標方程．
注意轉化公式(x≠0)和的靈活運用．
3．求軌跡方程．
求軌跡方程的方法有直接法、定義法、相關點代入法，在極座標中仍然適用，注意求誰設誰，找出所設點的座標ρ、θ的關係．
第6章平面直角座標系小結
2 認識事物之間的內在聯絡及相互轉化。3 培養學生的數學應用意識。一 知識結構 二 回顧與思考 1 在日常生活中，我們可以用有序實數對來描述物體的位置。有序實數對 x,y 與 y,x 是否相同，請你舉乙個例子說明。2 什麼是平面直角座標系建立了平面直角座標系平面叫做座標平面。座標平面由哪幾部分組成？...
第7講中考座標系中的幾何問題
中考數學重難點專題講座 第一部分真題精講 例1 2010，石景山，一模 已知 如圖1，等邊的邊長為，一邊在軸上且，交軸於點，過點作 交於點 1 直接寫出點的座標 2 若直線將四邊形的面積兩等分，求的值 3 如圖2，過點的拋物線與軸交於點，為線段上的乙個動點，過軸上一點作的垂線，垂足為，直線交軸於點，...
第27講座標平面上的直線 1 學生
班級 姓名 學號 一 填空題 1 直線過點並且的方向向量與滿足則直線的方程為 2 經過點a 3,4 且在兩座標軸上的截距相等的直線方程為 3 直線的傾斜角為，則的值是 4 正三角形obc中，若頂點o 0，0 b 1 則頂點c的座標為 5 異於原點o的兩點a b的座標分別為 則 1 是 oa ob 的...