小結微分方程是高等數學的乙個重要組成部分，它在科學研究及工程技術中有廣泛的應用.本章介紹微分方程的基本概念和一些簡單型別微分方程的解法.
一、微分方程的基本概念
1. 微分方程稱含有未知函式的導數或微分的方程式為微分方程.
2. 階稱微分方程**現的未知函式的最高端導數的階數為微分方程的階.
3. 解如果，代入微分方程中，能使微分方程成為恒等式，則稱為該微分方程的解.
4. 通解階微分方程的含有個任意常數的解，叫作該微分方程的通解.
5. 特解確定了通解中一組任意常數的值，所得到的就是微分方程的乙個特解.
6. 初值問題設為一組確定的數值.求階微分方程的滿足初始條件的特解的問題叫作微分方程的初值問題.
二、三種一階微分方程的標準形及其解法
1. 可分離變數的方程
標準形解法分離變數 .
兩邊積分 .
2. 齊次方程
標準形解法令，則，
從而原方程化為下面的以為自變數，以為未知函式的可分離變數的微分方程
.3.一階線性微分方程
標準形1）
解法1 常數變易法
先解方程（1）對應的齊次方程
,得其通解，再將其中的常數換成函式，即令.
然後，代入方程（1），求出.
解法2 公式法
微分方程（1）的通解為
.三、三種可降階的二階微分方程及其解法
1．標準形 .
解法直接積分兩次即可得結果.
2．標準形 （已解出，其中不顯含）.
解法令， 代入原方程，則原方程化為以為自變數，以為未知函式的一階微分方程
的求解.
3、標準形 （已解出，其中不顯含）.
解法令，則
.代入原方程，原方程化為以為自變數，以為未知函式的一階微分方程
求解之.
四、線性微分方程的性質與解的結構
1. 二階線性齊次微分方程
2）解的性質：
設都是二階線性齊次微分方程(2)的解 ，則對任意常數,
也是方程(2)的解.
.2. 二階線性齊次微分方程通解的結構
如果是方程（2）的兩個線性無關的解，則方程（2）的通解為
,其中為任意常數.
3. 二階線性非齊次微分方程通解的結構
設是二階線性非齊次微分方程
3）的乙個特解，是方程（3）所對應的齊次方程的通解，則
為非齊次微分方程（3）的通解.
五、二階線性常係數微分方程通解的求法
1.二階線性常係數齊次微分方程
4）的解法. 特徵根法
寫出方程（4）的特徵方程
5）根據特徵方程解的不同情況，寫出方程（5）的通解，公式如下表.
2. 二階線性常係數非齊次微分方程
6）的通解的求法.事實上，只要求出它的乙個特解.
只考慮.其中是次多項式的情況.應用待定係數法求特解,關鍵是確定特解的形式.這要根據右端項中，是不是微分方程（6）所對應的齊次方程的特徵根的情況按下錶確定.
上表中，是次的多項式，其係數待定.
複習題5
一、填空題
1.微分方程的通解是
2.以函式（為任意常數）為通解的微分方程是
3.微分方程的通解是
4.微分方程的通解是
二、單項單選題
1.微分方程的通解為[ ].
2.下列方程是可分離變數方程的是[ ].
; ;
;3.下列方程是齊次方程的是[ ].
; ;
;4.下列方程是齊次微分方程的是[ ].
5.下列方程是一階線性微分方程的是[ ].;;
6.微分方程滿足初始條件的特解是[ ].
7. 微分方程的通解為[ ].
8. 微分方程的通解是[ ].
9.微分方程的滿足的特解是[ ].
10.方程的通解為[ ].
11. 在下列方程中，以為特解的方程是【 】
12.方程的乙個特解應設為[ ].
13.設都是方程的解，且常數，則該微分方程的通解為[ ].
;;14. 設函式是線性非齊次方程的解，函式是該方程對應的齊次方程的解，則在下列函式中也是原方程的解為a 】
前三個都不是
三、綜合題
1.求微分方程的通解
2.求微分方程的通解.
3.求微分方程初值問題的解
4.一質量為的質點沿直線運動，運動時質點所受的力（其中為正的常
數，為質點運動的速度），設質點由靜止出發，求這一質點的速度與時間的關係.
5.已知曲線過原點，且在原點處的切線平行於直線，又滿足微分方程，求此曲線的方程.
6.一質量為的物體由高塔落下，下落時所受空氣阻力與速度成正比，比例係數為.已知下落的初速為零，求物體下落過程中速度和時間的函式關係.
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