最近買了個魔方在家玩，然後在魔方小站上面學習了一下上面的教程，終於能在5分鐘之內復原魔方了！當然這和高手幾秒鐘就能復原還完全不是乙個數量級的，但是對於乙個像我這樣在幾天前還只能對著亂七八糟的色塊一籌莫展的人來說，已經是乙個非常令人激動的事了！
1.在不拆卸魔方的情況下，不能單獨翻轉乙個稜色塊。
2.在不拆卸魔方的情況下，不能單獨翻轉乙個角色塊。
3.在不拆卸魔方的情況下，不能只對調一對色塊。
證明：第乙個道理：為什麼不能單獨翻轉乙個稜色塊。
想象我們對6個中心色塊定好了我們喜愛的方向，我們就定好了乙個座標系，這個座標系的原點就是魔方的體中心。座標有明確的正負方向。我們可以看見魔方的每乙個稜色塊都是有一條稜的（這不廢話麼，呵呵），對應於水平、前後、豎直x,y,z三個軸，分別有4條稜和他們每乙個平行，我們把這4條稜都標上乙個箭頭，指向正的方向。
現在如果你有乙個魔方可以這樣做一下。我們現在想象空間中有了這樣乙個座標系，和12個箭頭。考慮任意面的旋轉，（我這裡不考慮3個中面的旋轉，(因為，1，這樣動了座標系，2，中面的旋轉可以等效兩個側面的旋轉。
)，這時我們不考慮魔方，和魔方的花色，把他看成透明的，我們只考慮箭頭，每次任意面旋轉90度，我們都會讓2個箭頭改變方向（由正變負），我們只看結果，不考慮轉的過程，不區分箭頭哪來的。 翻轉乙個面90度是魔方的原子操作，他只能同時改變2個箭頭的方向。所以我們最後不可能得到其他塊不變只有1個箭頭被翻轉，也就是不可能只有乙個稜色塊被翻轉。
第二個道理：為什麼不能單獨翻轉乙個角色塊。
這個問題說起來，首先需要澄清角色塊的方向是如何定義的。因為角色塊會處在8個不同的位置，他的方向卻只有3種，我怎麼定義乙個移動的座標，又能準確標示出這3種方向變化呢？ 我這裡建議一種：
首先讓你的視線穿過乙個角色塊的頂點和整個魔方的體中心，你會看到乙個y是不是？以你的視線為軸，這個角色塊可以旋轉，他有3個位置。如下：
試試轉乙個側面，看看色塊在新的位置朝向是怎樣的？如果你轉乙個魔方的右側面90度，你會發現最靠近你眼睛的那個角色塊的朝向轉過了120度。盯住這個色塊，再轉一下，他轉到下面來了，為了仍然呈現乙個y，我們這時可以將魔方底面翻上來，這時我們發現這個角色塊又轉回了0如此等等。
重點是，你觀察任何一面的90度旋轉，4個角色塊，他們的朝向旋轉過的角度總和一定是360度的整數倍 ，準確的說就是120+240+240+120。 因為，轉乙個面是最小的原子操作，所以無論經過怎樣多少步的操作，我們所有角色塊角度變化和都是360*n，所以我們不可能只將乙個色塊旋轉120度或者240，而讓其他色塊不變化，也因此我們證明了為什麼不能單獨翻轉乙個角色塊。
第三個道理：為什麼不能只對調一對色塊。
首先我們考慮1234四個數的排列問題。1234變成4123，是所有數向右推移一位的變換。大家聯想一下魔方，每轉乙個面90度，4個角，4個稜都是這種變換是吧。
1234變4123 我以後簡稱（1234），其實也好記，就是1 to 2，2 to 3， 3 to 4，4 to 1， 要是（1432）就是1到4，4到3，3到2，2到1，就是向左推移。
（1234）是由幾個「交換兩個數」的變換組成的呢。這裡直接給出答案(1234)=(12)(13)(14),(12)的意思就是1到2，2到1。
具體說，我們看 1234變化的過程是這樣：
（12） 2134
（13） 3124
（14） 4123
正好就是變換（1234）。 這樣我們知道（1234）是經過奇數個交換得到的。
任何乙個變換都可以由若干個兩兩交換得到。因為對於乙個目標排列如2413，我怎麼做呢， 這裡面內在的道理就涉及群論的初步。這可能叫做迴圈群，我不確定，因為我沒看過書。
1234全排列有4!=24個，而對1234的變換也有24種。他們構成乙個群。
什麼是群？
乙個群就是有一堆元素。我們還需要乙個運算 「*」。 他們滿足：
1. 封閉性：a和b是群裡的元素，那麼a*b也是。
2. 存在元素e（其實就是模擬乘法裡的1）。a*e=e*a=a
3. 每個元素a 都有唯一逆元a-1, a*a-1=a-1*a=e
4. 結合律 (a*b)*c=a*(b*c)
好像很boring，我每次看都覺得，但是今天自己寫一遍就不覺得。這裡面，我是說這件bo不boring的事裡面是有道理的。 需要指出的是通常群並不滿**換律。
滿**換律的叫做abel群（等於什麼都沒說）。 為啥我說對1234的24個變換構成乙個群呢。 我說的24個變換就是對應了1234的24種排列，每個變換就是把1234變到其中的一種排列所使用的變換。
對於這些變換的運算「*」就是做變換的先後順序，a*b就是先做a再做b。
首先1234是乙個排列，他對應了一種變換，就是不變，我用（1）來表示，他就是滿足定義第二條的元素e。
封閉性，這是顯然的，因為只有24種排列，和對應的變換，跑不出去。
逆元都是有的，就是把每步逆序然後取反，肯定都在這24個變換當中。
結合律看似挺麻煩，其實是顯然的，因為(a*b)*c，a*(b*c)的意思都是先a再b再c。 這樣他們構成了乙個群，
so what？其實我現在也不好說構成了乙個群就怎麼樣。我只是說我可以用群的一些性質。
知道這個結構的一些特點了。也可以用分析群的一些視角，一些想法來分析這個系統。 首先我們看這24個變換。
(1), 偶
(12), (13), (14), (23), (24), (34), 奇
(123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶
這是15個，還剩9個，如果不明白什麼意思，看前面，我說乙個（243）意思是2到4，4到3，3到2，他把1234的1不動，234三個數字輪換的向左推移一位變成1342。 還有顯然的
(1234),(1432),奇
(14)(23), (13)(24),(12)(34)偶
還剩4個他們是
(13)(12)(24), (12)(14)(13), (14)(23)(12), (13)(24)(12) 奇
我們叫有奇數個兩兩交換組成的變換為奇變換，反之為偶變換，其實就是把群元素標出奇偶性。 我們看到兩個奇變換運算得到偶變換，而兩個偶變換運算永遠得不到奇數變換。
這樣偶變換事實上構成了乙個子群。 也就是說他們做運算是封閉的。他們是
(1), 偶
(123),(132), (124),(142),(134),(143),(234),(243)偶
(14)(23), (13)(24),(12)(34)偶
這12個元素構成了乙個子群。 我好像想錯了一些事情，呵呵。 不過前面寫出的都是正確的。我可能以後會用到回到為什麼不能只對調一對色塊。
為什麼？因為乙個原子操作，將乙個面旋轉90度，將4個角做了（1234）或（1432）是乙個3個交換的奇變換，4個稜同樣是3個交換的奇變換，這樣他對所有的色塊做的變換總的效果是乙個偶變換。 所以對於所有色塊的排列，我們能夠達成的都是偶變換，而只對調一對色塊是乙個奇變換。
不可能達成。 因此，我們證明了為什麼不能只對調一對色塊。
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