作者：劉晨（harc）
日期：2005.4～2007.7
目錄1.計算格式問題
1.1 ausmdv格式
1.2 各種格式捕捉燃燒問題的能力對比
2.時間推進格式
2.1化學反應特徵時間方法
2.2點隱式處理方法
3.化學反應機制
3.1 h2/o2不同反應機制的差別
3.2 ch4/o2不同反應機制的差別
4.邊界條件處理
2.1直接邊界通量
2.2間接邊界通量
5.目前還存在的一些問題
5.1軸對稱爆轟模擬中近對稱軸出現的問題
5.2三維爆轟模擬的問題
6.參考文獻
1.計算格式
1.1 ausmdv格式
ausmdv格式成功地消除了激波後數值過衝和近壁面數值振盪現象，但是ausm＋格式的優點如：消除紅寶石現象和滿足焓條件，卻不存在了。
文獻[1]給出的只是一維情形的ausmdv格式，而在向多維擴充套件時，存在的主要爭議是ausmv格式的構造，因為文獻[1] 中只是給出了一維動量方程的**格式，即：
在向多維情形推廣時，這裡以三維情形為例。ausmv格式構造在文獻中存在兩種思路：一種是只對法向動量方程採用上述**格式，而其餘方向的動量方程仍然保持與ausmd一致的形式，表示為ausmv_i，對應的ausmdv格式表示為ausmdv_i；另外一種思路是對三個速度方向的動量方程都進行類似的**，v和w方向的**格式如下：
表示為ausmv_ii，對應的ausmdv格式表示為ausmdv_ii。
這裡通過對紅玉問題的研究對兩種**思路進行比較[2]。
計算區域是乙個矩形區域，尺寸為，而初始間斷位置為。初始riemann條件見表1.1。
此時的激波傳播速度為-0.5。採用的笛卡爾網格。
初始時，將間斷右側中間單元的壓力值增加1％來誘發二維的不穩定性。在左右兩側都採用出流邊界；在方向上都採用反射邊界條件。圖1.
1給出了計算網格示意圖。圖1.2給出了各種情形的計算結果。
表1.1 紅玉算例的riemann初始條件
圖1.1 計算網格示意圖
圖1.2(a)時刻的等密度線分布， ausmd格式
圖1.2(b)時刻的等密度線分布， ausmv_i格式
圖1.2(c)時刻的等密度線分布， ausmv_ii格式
圖1.2(d)時刻的等密度線分布， ausmdv_i格式
圖1.2(e)時刻的等密度線分布， ausmdv_ii格式
ausmdv格式的構造以法向動量通量的定義為例：
其中s是乙個與壓力梯度相關的開關函式：
，。其中k取為10。
顯然在激波附近是乙個大壓力梯度區域，此時ausmdv格式退化為ausmv格式。
從上面的計算結果也可以看出這一點，ausmdv格式計算的結果與對應的ausmv格式的結果一致。從上面的結果可以看出，ausmd和ausmv_i都出現了紅玉不穩定問題，而ausmv_ii則沒有出現紅玉不穩定問題。
因此在我們的程式中採用了ausmdv_ii。但是進一步的計算實踐表明ausmv_ii使得ausmdv_ii的粘性捕捉能力下降。
1.2各種格式捕捉燃燒問題的能力對比
對於軸對稱超爆轟和跨爆轟問題，數值實踐表明ausm類格式捕捉燃燒波和激波的能力與aufs格式類似。因此這裡只給出了van leer格式、steger warming格式和aufs格式在軸對稱爆轟問題的模擬結果。其中採用的計算網格均為90×50。
圖1.3 氫氣/空氣超爆轟情形下格式的模擬結果
圖1.3給出了超爆轟情形下各種數值格式模擬得到的對稱軸上的壓強和溫度分布。從中可以看出各種格式以及對應的高階形式模擬得到的結果類似，也就是說對於超爆轟問題，各種格式的處理能力相當！
圖1.4 氫氣/空氣亞爆轟情形下格式的模擬結果
圖1.4給出了跨爆轟情形下的模擬結果。從中可以明顯看出各種格式模擬能力的差異。
當採用一階格式時，steger warming格式以及van leer格式幾乎無法捕捉溫度平台，顯然在這種情形下這兩種格式沒能準確捕捉燃燒場引數。而在採用了對應的2階格式之後可以明顯看出計算結果得到了改善。
因此可以認為採用高階格式或者加密網格的方法可以得到更為準確的流場。
結論： 從上面兩個算例中就可以明顯看出steger warming格式以及van leer格式在爆轟問題的模擬能力相比於其他的迎風格式稍弱，為了得到與其他格式相似的計算結果就需要採用對應的高階形式或者採用更密的計算網格。
2.時間推進格式
利用顯式的方法模擬帶化學反應的流場時，一般都會不可避免的出現剛性問題。剛性問題的出現是由於組元連續方程中化學源項的值有可能大於其他通量項的值。從而要求在計算過程中採用較小的時間的步長來能夠保證解的穩定性和防止非物理的組元密度解的出現。
為了解決這個剛性問題，加速程式的收斂速度，人們在研究過程中提出了多種方法。這裡介紹化學反應特徵時間和點隱式處理兩種方法的處理差異。
2.1化學反應特徵時間方法
這種方法是將runge－kutta推進的每乙個時間步的時間步長取為當地流體動力學步長和化學反應特徵時間的最小值。化學反應特徵時間的一種表示式如下：
， （i＝1，2，…，ns）。
該方法的思想**於在定常問題模擬中常用的一種加速收斂的思路，即當地時間步長方法。剛性問題的出現既然是由於化學反應特徵時間與流體動力學步長的巨大差異導致的，我們就在每個計算單元上將推進步長都取為它們的最小值。
實踐表明這種處理方法可以很好的解決程式的剛性問題，但是在數值實踐中還是發現了一些問題。
①在對超爆轟問題的模擬中數值模擬的結果出現振盪，顯然這種振盪是數值振盪，應該是由於模擬方法導致的。
②在對ch4/o2算例的模擬中發現，對於7mm情形模擬結果也出現一定週期的數值振盪。
③不論對於h2/o2還是ch4/o2情形，在採用一些較為複雜的反應機制時，總是無法得到合理的流場解。
為了分析上述的這些問題，我們對採用化學反應特徵時間方法程式對h2/o2以及ch4/o2多種情形下的時間步長進行了研究，具體值如下表：
表2.1 h2/o2情形下時間步長值
表2.2 ch4/o2情形下時間步長值
上述兩個表中綠色的表示數值結果出現振盪，而紅色的表示數值模擬失敗，並不是數值模擬發散，只是無法得到合理的數值解，主要表現為激波和燃燒波會一直向外發展。
另外對於得到收斂結果的情形的收斂歷程來看，先是激波附近流場達到收斂，而燃燒波附近也就化學反應流場剛開始計算，流場表現為激波不斷前推，直至燃燒場達到穩定狀態，激波就會慢慢退回至合理位置。顯然如果化學反應特徵時間與流體動力時間步長相差過大，就很難得到合理的計算結果。
注意出現問題的情形可以確信，數值模擬出現問題應該由於採用化學反應特徵時間步長方法之後，導致流場中各單元推進步長的差異導致的。顯然對於一般的無反應流場，可以看出流場中一般最大步長和最小步長之比應該在10.0以下。
而在帶化學反應的流場中，這個值可能會達到1000的量級（從表中還可以看出，這個值還跟cfl數、化學反應機制的選取以及網格有關）。
原因分析：
可以看出幾種出現數值振盪的情形，都是由於化學反應較為劇烈，而化學反應劇烈就必然會導致對應的化學反應特徵時間變的較小；而對於複雜化學反應機制，由於一般都包含了很多中間反應以及中間產物，其中很可能有反應速度極快的反應，從而導致單元的總體化學反應特徵時間變得很小。
而當單元與其附近單元的推進步長出現數量級的差別時，很可能導致出現數值上的偽解。
結論：化學反應特徵時間方法可以很好的解決程式的剛性問題，但是在數值實踐中發現對於反應劇烈或者採用複雜化學反應機制時無法得到合理的數值結果，也就是說該方法只能用於化學反應特徵時間與流動特徵時間相差不大的問題中。
2.2點隱式處理方法
點隱式方法的基本思想是隱式地對待源項。
對於空間離散後的流場控制方程組:
我們採取如下處理：
將上述方程作離散處理：
對該等式的最後一項化學源項進行泰勒展開，取到δt項：
忽略後面的δt項高階項，整理得：
通常記方程右側為rhs（n），則有：
4-67)
式中矩陣稱為預處理矩陣，i為單位矩陣。經過這樣的處理之後，化學源項帶來的剛性問題就可以得到很好的解決。
而在實際的計算中，為了簡化計算，常常不去精確計算源項矩陣，而是用某種容易計算的矩陣近似代替它。常取如下簡化形式：
其中z是ns階方陣，其餘三個零矩陣分別為ns×3，3×ns，3×3的。矩陣z的第i行第j列的元素為
。 點隱式方法的目的是使得化學反應和流場運動在乙個時間尺度內進行，也就是通過點隱式處理，從而使得化學反應時間尺度與流場運動的時間尺度相近。具體的數值實踐表明該方法不僅可以很好的解決剛性問題，而且也不會出現上面採用化學反應特徵時間方法時出現的問題。
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