例1：積分的性質
1、在某區間上，如果f（x）是f（x）的乙個原函式，c為任意常數，則下式成立的是（ ）。
ab.cd.
解如果f（x）是f（x）的乙個原函式，則f（x）＋c都是f（x）的原函式，故有，即正確的選項是c。
2、設是函式的乙個原函式，則
ab. cd.
解因為是函式的乙個原函式，即有=，故＝=
故正確的選項c。
3、已知=sinx+c，則f（x）=( )
a. b. xsinx c. d. xcosx
解對=sinx+c兩端求導，得
故f（x）=，正確的選項是c。
例2：不定積分的簡單計算
a． bcd.
解兩種方法，其一是湊微分直接計算：
其二是求導計算：四個備選答案中都含有項，對它求導
與被積函式比較可知，是的原函式。
正確的選項是b。
例3：不定積分的計算
計算下列積分
（12）
（34）
解 （1
（2（3
（4）= xcos(1-x) -
xcos(1-x) + sin(1-x) + c
例4：定積分的性質
1、 若是的乙個原函式，則下列等式成立的是
ab．c． d．
解由牛頓萊布尼茲公式可知，正確的選項是b。
2、 積分
解在對稱區間上求定積分，首先要考慮被積函式的奇偶性，可以利用奇偶函式在對稱區間上的積分的性質簡化計算。
因為是偶函式，故
=應該填寫：1
例5：定積分的計算
計算下列定積分
（12）
（24）
（5）設函式，計算定分
解 （112
（2） 利用=，可知
或設，則
時時，原積分＝＝
（3）用分部積分法
（4）用分部積分法
（5）分段函式要分區間積分，故
三、 積分應用
學習內容：
不定積分和定積分的經濟應用——成本，收入，利潤。定積分在幾何上的應用。
例6：積分的應用
1、 生產某產品的邊際成本為 (萬元/百台)，邊際收入為（萬元/百台），其中x為產量，若固定成本為10萬元，問
（1）產量為多少時，利潤最大？
（2）從利潤最大時的產量再生產2百台，利潤有什麼變化？
解 （1）邊際利潤
令，得（百台）
又是的唯一駐點，根據問題的實際意義可知存在最大值，故是的最大值點，即當產量為10（百台）時，利潤最大。
（2）利潤的變化
即從利潤最大時的產量再生產2百台，利潤將減少20萬元。
2、 已知某產品的邊際成本為 (萬元/百台)，x為產量(百台)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本
解：因為總成本函式為=
當x = 0時，c(0) = 18，得 c =18，即c(x)=
又平均成本函式為
令， 解得x = 3 (百台)。該題確實存在使平均成本最低的產量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百台)
例1－求函式的自然定義域
例1 求函式的定義域。
解的定義域是，的定義域是，但由於在分母上，因此。故函式的定義域就是上述函式定義域的公共部分，即1例2－求函式表示式
例2 設，求。
解由於，說明表示運算：，因此＝
再將代入，得=
例3－判斷函式相等
例3 下列函式中，哪兩個函式是相等的函式：
a. 與
b. 與
解 a中的兩個函式定義域相同， 對應規則也相同，故它們是相等的函式；b中的兩個函式定義域不同，故它們是不相等的函式。
例4－判斷函式奇偶性
例4 下列函式中，（ ）是偶函式。
ab.cd.
解根據偶函式的定義以及奇函式×奇函式是偶函式的原則，可以驗證a中和都是奇函式，故它們的乘積是偶函式，因此a正確。既然是單選題，a已經正確，那麼其它的選項一定是錯誤的。故正確選項是a。
例5－求函式的極限
解：利用第一重要極限和四則運算法則計算
例6－判斷無窮小量
例6－判斷無窮小量
下列變數中，是無窮小量的為（ ）
ab.cd.
解 a中：因為時，，故，不是無窮小量；
b中：因為時，，故是無窮小量；
c中：因為時，，故；但是時，，故，因此當時不是無窮小量。
d中：因為，故當時，，不是無窮小量。
因此正確的選項是b。
例7－函式的連續性
例7－函式的連續性
當（ ）時，在處連續。
a.0b. －1c.2d. 1
解函式在一點連續必須滿足既是左連續又是右連續。因為
而左連續。
故當1時，在處連續。
正確的選項是d。
例8－求切線方程
例8－求切線方程
曲線在點（1，0）處的切線是（ ）
ab. cd.
解根據導數的幾何意義可知，
是曲線在點（1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即
故正確的選項是a。
例9－求導數
例9－求導數
設，求；
解利用導數乘法法則
例10－判斷函式單調性
函式的單調增加區間是（ ）。
解用求導數的方法，因為
令則，則函式的單調增加區間是。
例11－求函式的彈性
例11－求函式的彈性
已知需求函式，當時，需求彈性為
a． b． c． d．
解因為 ，且
=故正確選項是c
例12－求函式最值
例12－求函式最值
設某產品的成本函式為
萬元）其中q是產量，單位：臺。求使平均成本最小的產量。並求最小平均成本是多少？
解平均成本
解得q1=50（臺），q2=－50（捨去）。
因有意義的駐點唯一，故q=50臺是所求的最小值點。當產量為50台時，平均成本最小。最小平均成本為萬元）
天津電大實時教學活動整理
本次活動主題 討論積分部分的問題以及這些章節的典型例題講解等。在討論過程中，同學們主要思考如下一些問題 1 不定積分的概念以及和導數之間有什麼聯絡？2 不定積分和定積分之間的關係是什麼，區別有哪些？3 n l公式有何意義？4 不定積分的常用計算方法有哪些？5 不定積分與定積分計算方法之間的聯絡。本次...
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