1.小明嘗試著將矩形紙片abcd（如圖①，ad>cd）沿過a點的直線摺疊，使得b點落在ad邊上的點f處，摺痕為ae（如圖②）；再沿過d點的直線摺疊，使得c點落在da邊上的點n處，e點落在ae邊上的點m處，摺痕為dg（如圖③）．如果第二次摺疊後，m點正好在∠ndg的平分線上，那麼矩形abcd長與寬的比值為 ▲ ．
2.問題**
（1）請在圖①的正方形abcd內，畫出使∠apb＝90°的乙個點p，並說明理由．
（2）請在圖②的正方形abcd內（含邊），畫出使∠apb＝60°的所有的點p，並說明理由．
問題解決
如圖③，現有一塊矩形鋼板abcd，ab＝4，bc＝3，工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的△apb和△cp』d鋼板，且∠apb＝∠cp』d＝60°，請你在圖③中畫出符合要求的點p和p』，並求出△apb的面積（結果保留根號）．
3. 四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內接四邊形.如圖1，正方形efgh就是正方形abcd的內接正方形.已知正方形abcd的邊長為
(1)請在圖1中畫出面積最小的正方形abcd的內接正方形
e』f』g』h』(要求用文字標明取點方法)；
(2)如圖2，是正方形abcd的內接平行四邊形，
，.請**
①當、滿足什麼條件時，是矩形；
②用的代數式表示矩形的面積s，並寫出
s的取值範圍.
4.如圖，直角梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝90°，已知ad＝ab＝3，bc＝4，動點p從b點出發，沿線段bc向點c作勻速運動；動點q從點d 出發，沿線段da向點a作勻速運動．過q點垂直於ad的射線交ac於點m，交bc於點n．p、q兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．當q點運動到a點，p、q兩點同時停止運動．設點q運動的時間為t秒．
(1)求nc，mc的長(用t的代數式表示)；
(2)當t為何值時，四邊形pcdq構成平行四邊形？
(3)是否存在某一時刻，使射線qn恰好將△abc的面積和周長同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
(4)**：t為何值時，△pmc為等腰三角形？
5.（2023年寧波市）如圖1，有一張菱形紙片abcd，，。
（1）請沿著ac剪一刀，把它分成兩部分，把剪開的兩部分拼成乙個平行四
邊形，在圖2中用實線畫出你所拼成的平行四邊形;若沿著bd剪開，
請在圖3中用實線畫出拼成的平行四邊形;並直接寫出這兩個平行四邊
形的周長。
（2）沿著一條直線剪開，拼成與上述兩種都不全等的平行四邊形，請在圖4
中用實線畫出拼成的平行四邊形。
（注：上述所畫的平行四邊形都不能與原菱形全等）
周長為周長為
6.（2023年寧德市）（本題滿分13分）如圖，四邊形abcd是正方形，△abe是等邊三角形，m為對角線bd（不含b點）上任意一點，將bm繞點b逆時針旋轉60°得到bn，連線en、am、cm.
⑴ 求證：△amb≌△enb；
⑵ ①當m點在何處時，am＋cm的值最小；
②當m點在何處時，am＋bm＋cm的值最小，並說明理由；
⑶ 當am＋bm＋cm的最小值為時，求正方形的邊長.
7. (2023年浙江省紹興市) (1) 如圖1,在正方形abcd中,點e,f分別在邊bc,
cd上,ae,bf交於點o,∠aof＝90°.
求證：be＝cf.
(2) 如圖2,在正方形abcd中,點e,h,f,g分別在邊ab,
bc,cd,da上,ef,gh交於點o,∠foh＝90°, ef
＝4.求gh的長.
(3) 已知點e,h,f,g分別在矩形abcd的邊ab,bc,cd,da上，ef,gh交於點o,
∠foh＝90°,ef＝4. 直接寫出下列兩題的答案：
①如圖3,矩形abcd由2個全等的正方形組成,求gh的長；
②如圖4,矩形abcd由n個全等的正方形組成,求gh的長(用n的代數式表示).
8.（2023年北京順義）在中，ac=bc，，點d為ac的中點．
（1）如圖1，e為線段dc上任意一點，將線段de繞點d逆時針旋轉90°得到線段df，鏈結cf，過點f作，交直線ab於點h．判斷fh與fc的數量關係並加以證明．
（2）如圖2，若e為線段dc的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．
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9.（2023年益陽市）如圖7，在菱形abcd中，∠a=60°, =4,o為對角線bd的中點，過o點作oe⊥ab，垂足為e．
(1) 求∠abd 的度數；
(2)求線段的長．
(2023年山東聊城)如圖，在等邊△abc中，點d是bc邊的中點，以ad為邊作等邊
△ade
（1）求∠cae的度數；
（2）取ab邊的中點f，鏈結cf、ce，試證明四邊形afce是矩
(2010福建泉州市惠安縣)如圖，點e、f分別是菱形abcd中bc、cd邊上的點（e、f不與b、c、d重合）；在不作任何輔助線的情況下，請你新增乙個適當的條件，能推出ae=af，並予以證明.
（2010遼寧省丹東市）20． 如圖，已知矩形abcd中，e是ad上的一點，f是ab上的一點，ef⊥ec，且ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周長為32cm，求ae的長．
、如圖18，分別在△abc的ab、ac兩邊上向外作正方形abde和acfg，連線ec、bg．問：
（1）圖中除了正方形邊長外，還有相等的線段，請指出來，並給出證明；
（2）圖中存在乙個圖形是由另乙個圖形繞某點沿某個方向旋轉某個角度所得的嗎？請給出你的理由；
（3）設ec和bg相交於點 o，你知道ec和bg的交角的度數嗎？（不需說明理由）
如圖19，等腰梯形abcd中，ad∥bc，點e是線段ad上的乙個動點(e與a、d不重合)，g、f、h分別是be、bc、ce的中點．
（1）試探索四邊形egfh的形狀，並說明理由．
（2）當點e運動到什麼位置時，四邊形egfh是
菱形?並加以證明．
（3）若（2）中的菱形egfh是正方形，請探索線段ef與線段bc的關係，並證明你的結論
例5、如圖17所示，o是ac的中點，過o作△abc的邊bc的平行線mn，交∠acb的平分線於e，交△abc的∠acb的外角平分線於f．求證：四邊形aecf是矩形．
例9、如圖20，已知有四個動點p、q、e、f分別從正方形abcd的頂點a、b、c、d同時出發，沿ab、bc、cd、da以同樣的速度勻速向b、c、d、a移動．
（1）求證：四邊形pqef是正方形．
（2）pe是否總過某一點，並說明理由．
（3）四邊形pqef的頂點在何處時哦，其面積有最小值和最大值，並求其最小值和最大值．
（2011常州）22．（本小題5分）
已知：如圖，在△abc是，d為bc上的一點，ad平分∠edc，且∠e=∠b，de=dc
求證：ab=ac
（2011常州）23．（本小題7分）
已知：如圖，在梯形abcd中，ab∥cd，bc=cd，ad⊥bd，e為ab的中點。
求證：四邊形bcde是菱形
（2011 南京）21．（7分）如圖，將□abcd的邊dc延長到點e，使ce=dc，連線ae，交bc於點f．
⑴求證：△abf≌△ecf
⑵若∠afc=2∠d，連線ac、be．求證：四邊形abec是矩形．
（2011蘇州）
（2011 泰州）24．（本題滿分10分）如圖，四邊形abcd是矩形，直線l垂直平分線段ac，垂足為o，直線l分別與線段ad、cb的延長線交於點e、f。
（1）△abc與△foa相似嗎？為什麼？
（2）試判定四邊形afce的形狀，並說明理由。
（2011 揚州）23．（本題滿分10分）已知：如圖，銳角的兩條高相交於點，且
（1）求證：是等腰三角形；
（2）判斷點是否在的角平分線上，並說明理由．
（2011連雲港）20．（本題滿分6分）兩塊完全相同的三角形紙板abc和def，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點o為邊ac和df的交點，不重疊的兩部分△aof與△doc是否全等？為什麼？
（2011 無錫）21．(本題滿分8分)如圖，在 abcd中，e、f為對角線bd上的兩點，且∠bae=∠dcf．
求證：be=df．
（2011 鹽城）27．（本題滿分12分）
情境觀察
將矩形abcd紙片沿對角線ac剪開，得到△abc和△a′c′d，如圖1所示.將△a′c′d的頂點a′與點a重合，並繞點a按逆時針方向旋轉，使點d、a(a′)、b在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與bc相等的線段是 ▲ ，∠cac
問題**
如圖3，△abc中，ag⊥bc於點g，以a為直角頂點，分別以ab、ac為直角邊，向△abc外作等腰rt△abe和等腰rt△acf，過點e、f作射線ga的垂線，垂足分別為p、q. 試**ep與fq之間的數量關係，並證明你的結論.
拓展延伸
如圖4，△abc中，ag⊥bc於點g，分別以ab、ac為一邊向△abc外作矩形abme和矩形acnf，射線ga交ef於點h. 若ab= k ae，ac= k af，試**he與hf之間的數量關係，並說明理由.
例３、如圖1，在等腰梯形中，，是的中點，過點作交於點．，.
（1）求點到的距離；
（2）點為線段上的乙個動點，過作交於點，過作交折線於點，鏈結，設.
①當點**段上時（如圖2），的形狀是否發生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；
②當點**段上時（如圖3），是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.
、若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點．例如，如圖的矩形中，點在邊上，連，，則點為直角點．
（1）若矩形一邊上的直角點為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數量關係？並說明理由；
（2）若點分別為矩形邊，上的直角點，且，求的長．
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九上第一章圖形與證明 二 練習題 一 選擇題 1 2010年廣東省廣州市 在 abc中，d e分別是邊ab ac的中點，若bc 5，則de的長是 a 2.5b 5c 10d 15 2 2010年燕山 已知等邊 abc的邊長為a，則它的面積是 學 科 網z x x k a a2b a2c a2 d a...
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