第六章數值積分
學習小結
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一、 本章學習體會
數值積分的解法很重要，要熟練運用並且掌握，而且該問題也是日後課題中可能遇到的。由於在實際工作中很多被積函式是很難求出它的原函式的，甚至不能求出有限形式的原函式，即單純的通過解析方法已經不能滿足實際的應用，進而提出一種新的數值方法，數值積分法。數值積分簡單的講就是求定積分的近似值的數值方法，即用被積函式的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。
本章主要介紹了插值型求積公式，newtoncotes求積公式，復化求積公式以及gauss型求積公式。
構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n次插值多項式代替被積函式，由此匯出的求積公式稱為插值型求積公式。在節點分布等距的情形稱為newtoncotes公式，例如梯形公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。
當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，準確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。
學習這一章最大的收穫就是幾種求積公式的應用，通過平時做習題，體會的更加深刻了。這對於以後課題的研究會有很大的幫助。
程式的學習雖然在一點點進步，但是通過做作業感覺自己在matlab的軟體學習方面還是有欠缺，因為本科學的不紮實，很多程式看上去很吃力，有待進一步的提公升。
本章知識梳
6.1 求積公式及其代數精度
★求積公式的一般形式為
6.1）
★定義對於求積公式（6.1），當為任何次數不高於m的多項式都成為等式，而當為某個m+1次多項式時不能成為等式，則稱它具有m次代數精度。
6.2 插值型求積公式其中
★誤差餘項
其中★定理6.1 n+1個節點的插值型求積公式至少具有n次代數精度。
推論對於n+1個節點的插值型求積公式的求積係數，必滿足
★定理6.2 n+1個節點的求積公式如果具有n次或者大於n次的代數精度，則它是插值型求積公式。
6.3 newton-cotes求積公式
★ newton-cotes求積公式
如果節點等距，且，
則相應的插值型求積公式稱為newton-cotes求積公式，相應的求積係數稱為newton-cotes求積係數。
★cotes係數的特點：
（1）歸一性
（2）對稱性
（3）有時為負n=8
★誤差餘項
★newton-cotes求積公式的代數精度
當n為偶數時，n+1個節點的newton-cotes求積公式的代數精度至少是n+1。
★ 常用的newton-cotes求積公式
1.梯形公式(n=1)
重點講解
等距節點的求積公式
重點講解
2.simpson公式(n=2)
3.simpson3/8公式(n=3)
公式(n=4)
6.4 newton-cotes求積公式的收斂性與數值穩定性
如果對於任何n，，則newton-cotes求積公式具有數值穩定性。
6.5 復化求積法
6.5.1 復化梯形公式與復化simpson公式
★復化梯形公式
只要函式在區間[a,b]上可積，則當時，復化梯形公式右端（稱為復化梯形值）收斂於積分。
求積係數總滿足，具有數值穩定性。
★復化simpson公式
只要函式在區間[a,b]上可積，則當時，復化simpson公式右端（稱為復化simpson值）收斂於積分。，具有數值穩定性。
6.7 gauss型求積公式
6.7.1 一般理論
★帶權求積公式的一般形式
★定義如果n個節點的求積公式的代數精度為2n-1次，則稱它為gauss型求積公式。
★gauss點的選取
設是區間[a,b]上帶權的正交多項式系，則上述求積公式是gauss型求積公式的充分必要條件是它的求積節點是n次正交多項式的n個零點。
★gauss型求積公式的誤差
設在區間[a,b]上有2n階連續導數，則gauss型求積公式的截斷誤差為
gauss型求積公式係數性質
（1）（2）
6.7.2 幾種gauss型求積公式
★gauss-legendre求積公式
重點講解
★gauss-laguerre求積公式
上帶權的n次正交多項式．
★gauss-hermite求積公式
上帶權的n次正交多項式
★gauss-chebyshev求積公式
重點講解
二、 本章思考題
newton-cotes求積公式的代數精度各是多少？其意義是什麼？
答：n=1時，為梯形公式，代數精度為1，對於，積分公式成立，而積分公式不在成立；
n=2時，為simpson公式，代數精度為3，對於，積分公式成立，而積分公式不在成立；
n=4時，為cotes公式，代數精度為5，對於，積分公式成立，而積分公式不在成立；
對於newton-cotes公式，當n=奇數時，其代數精度為n，當n=偶數時，其代數精度為n+1。
三、 本章測驗題
用辛普森公式求積分並估計誤差。
解：辛普森公式為
由題意知a=0,b=1
從而有誤差為
本題的知識點：
★辛普森公式求積分概念及其計算。
第六章學習小結數值分析
第6章數值積分 學習小結 1 本章學習體會 本章的最大收穫是學習了數值積分的一些常用的方法。例如牛頓 柯特斯公式是在等距節點的情形下的插值求積公式，其簡單的如梯形公式，辛普森公式等。再有事復化求積公式是改善求積公式精度的一種有效的方法，對於復化梯形公式 復化辛普森公式很常用。而高斯求積公式是一種高精...
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