4.1 斷裂力學的定義
4.1在許多結構和零部件中存在的裂紋和缺陷，有時會導致災難性的後果。斷裂力學在工程領域的應用就是要解決裂紋和缺陷的擴充套件問題。
斷裂力學是研究載荷作用下結構中的裂紋是怎樣擴充套件的，並對有關的裂紋擴充套件和斷裂失效用實驗的結果進行**。它是通過計算裂紋區域和破壞結構的斷裂引數來**的，如應力強度因子，它能估算裂紋擴充套件速率。一般情況下，裂紋的擴充套件是隨著作用在構件上的迴圈載荷次數而增加的。
如飛機機艙中的裂紋擴充套件，它與機艙加壓及減壓有關。此外，環境條件，如溫度、或大範圍的輻射都能影響材料的斷裂特性。
典型的斷裂引數有：
與三種基本斷裂模型相關的應力強度因子(k i,k ii,k iii)(見圖4-1)；
j積分，它定義為與積分路徑無關的線積分，用於度量裂紋尖端附近奇異應力與應變的強度；
能量釋放率(g)，它反映裂紋張開或閉合時功的大小；
注意--在本節大部分的圖形中裂紋的寬度被放大了許多倍。
圖4-1 裂縫的三種基本模型
4.2 斷裂力學的求解
4.2求解斷裂力學問題的步驟為：先進行線彈性分析或彈塑性靜力分析，然後用特殊的後處理命令、或巨集命令計算所需的斷裂引數。本章我們集中討論下列兩個主要的處理過程。
裂紋區域的模擬；
計算斷裂引數。
4.2.1 裂紋區域的模擬
4.2.1
在斷裂模型中最重要的區域，是圍繞裂紋邊緣的部位。裂紋的邊緣，在2d模型中稱為裂紋尖端，在3d模型中稱為裂紋前緣。如圖4-2所示。
圖4-2 裂紋尖端和裂紋前緣
**彈性問題中，在裂紋尖端附近(或裂紋前緣)某點的位移隨
變化。為選取應變奇異點，相應的裂紋面需與它一致，圍繞裂紋頂點的有限元單元應該是二次奇異單元，其中節點放到1/4邊處。圖4-3表示2-d和3-d模型的奇異單元。
圖4-3 2-d和3-d模型的奇異單元
4.2.1.1 22--d斷裂模型
4.2.1.1
對2d斷裂模型推薦採用plane2單元，其為六節點三角形單元。圍繞裂紋尖端的第一行單元，必須具有奇異性，如圖4-3a所示。prep7 中kscon命令(main menu>preprocessor>-meshing-shape & size>-concentrat kps-create)用於指定關鍵點周圍的單元大小，它特別適用於斷裂模型。
本命令自動圍繞指定的關鍵點產生奇異單元。命令的其他選項可以控制第一行單元的半徑，以及控制周圍的單元數目等，圖4-4顯示用kscon命令產生的斷裂模型。
圖4-4 斷裂樣本和2d有限元模型
建立2-d模型的其他建議：
盡可能利用對稱條件。在許多情況下根據對稱或反對稱邊界條件，只需要模擬裂紋區的一半，如下所示：
圖4-5 利用對稱性
為獲得理想的計算結果，圍繞裂紋尖端的第一行單元，其半徑應該是八分之一裂紋長或更小。沿裂紋周向每一單元最好有30-40角度。
裂紋尖端的單元不能有扭曲，最好是等腰三角形。
4.2.1.2 33--d斷裂模型
4.2.1.2
三維模型推薦使用的單元型別為20 節點塊體元solid95，如圖4-3b所示。圍繞裂紋前緣的第一行單元應該是奇異單元。這種單元是楔形的，單元的klpo 面退化成ko 線。
產生三維斷裂模型要比二維模型複雜，kscon命令不能用於三維模型，必須保證裂紋前緣沿著單元的ko 邊。
建立三維斷裂模型的建議如下：
推薦的單元尺寸與二維模型一樣。此外在所有的方向上，單元的相鄰邊之比不能超過4：1。
在彎曲裂紋前緣上，單元的大小取決於區域性曲率的數值。例如，沿圓環狀彎曲裂紋前緣，在15-30°的角度內至少有乙個單元。
所有單元的邊(包括在裂紋前緣上的)都應該是直線。
4.2.2 計算斷裂引數
4.2.2
在靜態分析完成後，可以通過通用後處理器post1 來計算斷裂引數，如前面提到的應力強度因子、j積分及能量釋放率等。
4.2.2.1 應力強度因子
4.2.2.1
用post1 中的kcalc命令((main menu>general postproc>nodal calcs>stress int factr)計算複合型斷裂模式中的應力強度因子(k i,k ii,k iii)。該命令僅適用於在裂紋區域附近具有均勻的各向同性材料的線彈性問題。使用kcalc命令的步驟如下：
1、定義區域性的裂紋尖端或裂紋前緣的座標系，以x軸平行於裂紋面(在三維模型中垂直於裂紋前緣)，y 軸垂直於裂紋面，如圖4-6 所示。
注意--當使用kcalc命令時，座標系必須是啟用的模型座標系[csys]和結果座標系[rsys]。
命令：local (或clocal ，cs，cskp等)
gui：utility menu>workplane>local coordinate systems>create local
cs>at specified loc
圖4-6 裂縫座標系
2、定義沿裂紋面的路徑，應以裂紋尖端作為路徑的第一點。對於半個裂紋模型而言，沿裂紋面需有兩個附加點，這兩個點都沿裂縫面；對於整體裂紋模型，則應包括兩個裂紋面，共需四個附加點，兩個點沿乙個裂紋面，其他兩個點沿另乙個裂紋面。圖4-7 給出了二維模型的情況。
命令：path，ppath
gui：main menu>general postproc>path operations>define path
圖4-7 典型路徑定義(a)半個裂紋模型；(b)整個裂紋模型
3、計算k i,k ii,k iii，kcalc命令中的kplan域用於指定模型是平面應變或平面應力。除了薄板的分析，在裂紋尖端附近或其漸近位置，其應力一般是考慮為平面應變。kcsym域用來指定半裂紋模型是否具有對稱邊界條件、反對稱邊界條件或是整體裂紋模型。
命令：kcalc
gui：main menu>general postproc>nodal calcs>stress int factr
4.2.2.2 j 積分
4.2.2.2
j積分的最簡單形式，可以定義為與路徑無關的曲線積分，它能度量裂紋尖端附近的奇異應力和應變的強度。式（4-1）是二維情況下的定積分表示式。它假定裂縫位於總體直角座標x-y平面，而x軸平行於裂縫。
（4-1）
其中：γ=圍繞裂紋尖端的任意積分路徑；
w=應變能密度(單位體積的應變能)；
t x=沿x軸的牽拉力向量σx n x + σxy n y；
t y=沿y軸的牽拉力向量σy n y + σxy n x；
σ=應力分量；
n=路徑γ的單位外法向向量分量；
u=位移向量；
s=路徑γ的距離。
圖4-8 圍繞裂紋尖端的j積分路徑
二維模型計算j積分的步驟：
1、讀入所要的結果。
命令:set
gui：main menu>general postproc>first set
2、儲存每個單元的應變能和體積。
命令:etable
gui：main menu>general postproc>element table>define table
3、計算每個單元的應變能密度。
命令:***p
gui：main menu>general postproc>element table>exponentiate
4、定義線積分路徑。見圖4-9。
命令:path,ppath
gui：main menu>general postproc>path operations>define path
圖4-9 j積分路徑示例
5、將步驟1儲存在單元表中的應變能密度對映到積分路徑上。
命令:pdef
gui：main menu>general postproc>path operations>map onto path
6、對總體y軸積分。
命令:pcalc
gui：main menu>general postproc>path operations>integrate
7、將積分的最後值賦值給乙個引數，它就是式（4-1）的第一項。
命令:*get,name,path,,last
gui：utility menu>parameters>get scalar data
8、將應力分量sx、sy和sxy對映到積分路徑上。
命令:pdef
gui：main menu>general postproc>path operations>map onto path
9、定義路徑法向量。
命令:pvect
gui：main menu>general postproc>path operations>unit vector
10、計算式（4-1）中的tx和ty。
命令:pcalc
gui：main menu>general postproc>path operations>operation
11、沿x軸的正方向和負方向沿路徑移動一小段距離，計算位移向量的導數(δu x/δx 和δu y/δy)。這涉及到下面的步驟（如圖4-10所示）：
計算路徑移動的距離dx。一般情況下取為路徑總長度的1%。可以通過下面的命令得到路徑的總長度：
*get，name，path，，last，s
沿x軸的的負方向移動dx/2 距離[pcalc,add,xg,xg,,,,-dx/2]，將ux 和uy 對映到路徑上[pdef]，取名為ux1 和uy1。
沿x軸的的正方向移動dx 距離[pcalc,add,xg,xg,,,,dx/2]（即從原點處移動dx/2 的距離），將ux 和uy 對映到路徑上，取名ux2 和uy2。
把路徑移回原點(距離-dx/2)，然後採用pcalc 計算(ux2-ux1)/dx 和(uy2-uy1)/dx ，它就分別代表σu x/σx 和σu y/σy。
參見《ansys coupled-field analysis guide》對*get, pcalc和pdef命令的討論。
圖4-10 計算位移向量的導數
12、採用第10步和第11步計算得到的資料，計算j積分的第二項[pcalc]，並對路徑的距離s[pcalc]積分，得到方程4-1中的第二項。
13、採用5～7和12步所獲得的數值，根據式（4.1）計算j積分值。
可把上述步驟寫入乙個巨集，以簡化j積分計算，參見《ansys apdl programers guide》。
4.2.2.3 能量釋放率
4.2.2.3
能量釋放率用於計算裂紋張開或閉合時所用的功(能量改變)。計算能量釋放率的乙個方法是虛擬裂紋擴充套件方法。
在虛擬裂紋擴張方法中，必須做兩次分析：一次是裂紋長度為a，另一次是裂紋長度為a+δa。如果這二種情況下的位能u(應變能)被儲存，能量釋放率就可從下列公式算出：
(4.2)
其中b 是斷裂模型的厚度。
在第二次分析中，把裂紋擴充套件δa。選擇裂紋附近的所有節點，並在x方向以因子δa給予縮放[nscale](main menu> preprocessor>-modeling-operate> scale ) 以得到擴充套件了的裂紋模型。
注意--若採用實體模型，在對所有節點縮放前，首先必須解除實體模型與有限元模型的關聯[modmsh,detach](main menu>preprocessor> checking ctrls)。裂紋附近通常是指裂紋尖端在半徑a/2 內的全部節點。同樣對節點的縮放因子δa，一般應取裂紋長度的0.
5%～2%。
第四章選擇結構程式設計
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鋼結構第四章答案
習題參 解 由構件x處截面的力矩平衡，得到方程，可進行數學推導，求得尤拉臨界荷載值。令，則 顯然平衡方程即為二階常係數非齊次線性方程的求解。齊次方程求解 令，便可解得，故通解為 方程的特解求解 有，其中為一次多項式，由於0不是特徵方程的根，可令，代入方程得 則，於是可得方程的全解為 邊界條件 所以 ...
第四章分子結構
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