近二十年來，數字訊號處理技術隨著數字計算機、大規模積體電路等有了突飛猛進的發展，逐漸形成一門具有強大生命力的技術科學，有效促進各工程技術領域的技術改造和學科發展，應用領域也更加廣泛、深入，越來越受到世界各國大學和科研部門的重視。而傅利葉變換的產生和發展為數字訊號處理的發展和應用奠定了堅實的基礎，成為當今學術科研和生產實踐中最為不可缺少的工具。傅利葉變換包括連續傅利葉變換和離散傅利葉變換。
我們知道連續時間傅利葉變換是一種積分變換，很難在實際中得到應用；而離散傅利葉變換(discrete fourier transform ，dft) 產生於連續時間傅利葉分析， 是為了適應利用計算機分析傅利葉變換而規定的一種專門運算，但卻不能清楚地理解數位化的頻譜與被分析的連續時間訊號頻譜之間的關係。因此，很多人對於離散傅利葉變換存在模糊的理解。
本文講述三個學生在和老師討論的情況下，根據所學的連續時間傅利葉變換和連續時間週期訊號的傅利葉級數知識，從訊號的時域和頻域(變換域)相互取樣的角度來分析總結出離散傅利葉變換的變換對（即dft和idft）的過程。通過這個具體的教學科學活動，十分清晰地展示了離散傅利葉變換的提出和推導演變過程，對於我們理解dft和ft的關係，如何運用fs理論基礎推導出dft變換，以及增進對不同變換對之間的聯絡和關係的理解具有非常大的幫助。同時，我們也可以看出tom，dick和mary三個人具有很強創新意識以及實踐動手能力，對既有知識的辯證的接受和批判，勇於向已有理論提出質疑，對於我們今後的學習和科學工作具有鮮明的指導意義，而他們對知識的熱愛和追求以及不斷探索的精神同樣值得我們學習。
tom，dick和henry 在繪製連續時間傅利葉變換的幅度和相位譜時遇到計算量十分大地困擾。他們最先想到的是運用計算機來實現，但是傅利葉變換得到的是一條連續曲線，而計算機工作要求時域輸入和頻域輸出的離散性。對於這種情況，mary想到了傅利葉級數：
因為傅利葉級數產生一系列的頻域離散取樣點。但是，dick否定了這種想法，他認為非週期訊號，無法作傅利葉級數分析。不過，mary 指出，在構建乙個傅利葉級數的過程中只有乙個週期的訊號參與計算，因此，可以通過對原始訊號進行週期拓展來實現傅利葉級數的計算。
在此基礎上，tom建議如果時域擴充套件的週期應大於訊號的時域週期， 否則會產生混疊。
為了繪製頻譜，必須去除連續訊號在時域和頻域上的連續性，進行離散化操作。根據測不准原理：乙個時域有限的訊號在頻域上不可能是受限的，同樣的在頻域上受限的訊號時域上不可能受限。
然而，憑藉多次試驗和理論推導，他們有乙個直覺：如果對頻域進行逆操作，就有可能得到時域的離散化。他們打破了理論上的常規，同時對兩個域進行週期拓展，讓頻率扮演通常的時間的角色，取樣率扮演通常的時域週期的角色。
對頻域函式進行週期拓展的結果表明，通過時域離散訊號計算頻域取樣值的方法是可行的，理論上可以計算任何頻率點的頻域值。
工作進行到這一布並沒有結束，因為如果要在計算機上真正實現ft變換對，進行頻譜分析，還得需要乙個變換對來確保時間域和頻率域上資料的**是離散化的。在前面的計算任意頻域值的時候，可以發現時域離散點的個數是無窮次，計算的次數也因此是無窮次。這也意味著，如果我們取有限個（但是很大）的數量取樣點的值進行計算，得到的頻譜將是真實頻譜的有效近似。
所以，在實際計算的過程中，實際上仍然需要通過截斷處理來近似真實頻譜。然而，當我們對時域訊號進行截斷時，由測不准原理可知，時域長度有限，頻域長度無限。他們認為由於固有或前端預處理低通濾波器操作，可以存在乙個比較特殊的上限截止頻率。
對於實際處理的訊號，大部分是有限長度的，對之進行抽樣，產生個取樣點，我們用前向變換去計算dtft的取樣值，應該看到dtft變換實際是以原訊號傅利葉變換以取樣率為週期進行延拓得到的，其間對原來週期的函式產生混疊。從這個意義上講，我們得到的傅利葉變換的取樣是乙個近似，但是只要我們的取樣率足夠就能使得混疊帶來的影響變得很微小。最關鍵的一點，通過時域取樣和頻域取樣，使得求傅利葉變換的積分運算可以通過加法和乘法實現。
整個dft推導過程中，依賴的理論基礎為週期訊號fs，從這個意義上來講，包括dtft變換都是從fs理論通過時域離散和頻域離散等手段得到的乙個變換對。
，這樣便於在計算機上進行訊號的頻譜分析。本文通過對乙個具體教學科研過程的描述，詳細**了離散傅利葉變換的提出和推導演變過程，澄清我們對離散傅利葉變換的模糊認識，從而對其有更深入的理解，對今後的科研工作具有重要的指導意義；同時，他們善於發現問題，勇於挑戰傳統和堅持不懈的優良作風更加值得我們學習。
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