緒論1 現代訊號分析
訊號分析這個術語通常用來稱呼分析或者解釋由時變物理過程所產生的訊號的科學。訊號本身可以是僅出現在短暫持續時間內的暫態訊號，也可能是週期性的（重複的），或者是隨機的和不可**的。訊號分析方法可以應用於以上各種訊號。
2 訊號的描述方式
我們可以從不同的角度或者說在不同的領域中描述訊號。以時間為自變數，用乙個時間函式來表示訊號稱為訊號的時域描述。這是訊號的自然表現形式，也就是說訊號是以隨時間變化酌形式出現或存在的，訊號的時域描述只能反映訊號隨時間變化的總體情況，從測試結果能否反映被測訊號出發，我們所關心的是訊號的另外一種描述，把訊號從時間域變換到頻率域，即以頻率作為自變數建立訊號與頻率之間的函式關係，這稱為訊號的頻域描述。
它可以揭示訊號中各分量的頻率構成倩況，為準確地測試訊號提供必要的理論依據。
本章的核心問題是訊號的頻譜，進一步說，就是如何分別獲得週期訊號和非週期訊號的頻譜。
對週期訊號和非週期訊號進行頻譜分析的實質是相同的，那就是將訊號分解，把復雜訊號分解成基本訊號之和，最常用的基本訊號是正弦或余弦訊號。每個正弦訊號的頻率是確定的，作為訊號中的乙個頻率成分。乙個復雜訊號可以分解成多個頻率不同的正(餘)弦訊號之和，也即化整體為區域性，從而能夠獲得構成訊號的頻率結構。
所謂頻率結構反映的是乙個訊號是由哪些頻率不同的分量、以什麼樣的對應關係組合而成，它揭示的是訊號的頻域特性。訊號的頻率結構最終通過幅值頻譜圖和相位頻譜圖來直觀地描述。
動態測試關心的是訊號的頻域描述，而獲得頻域描述的依據是訊號的時域描述，時域描述是動態訊號最基本的描述，頻域描述是本課程應用最多的描述，兩種描述之間存有內在聯絡。
訊號描述的任務是：首先將訊號的時域描述變換為頻域描述，所需運用的數學工具是傅利葉分析法，然後再由頻域描述進一步求得訊號的頻譜。
頻譜的性質及其計算
一、週期訊號
1 概述
週期訊號分為兩類，一類是最簡單的週期訊號，即正弦訊號和余弦訊號，它們只包含了乙個頻率分量，統稱為簡諧訊號或諧波；另一類是以方波為代表的複雜週期訊號或稱非簡諧週期訊號。這兩類訊號的最大區別在於頻率結構上單頻與多頻的不同。接下來的問題是如何定量的了解方波這類複雜週期訊號的多頻率結構。
就是把方波的時域描述變換為用多個頻率不同的正（餘）弦訊號的是時域描述來表達，那麼從變換後的表示式中，我們就能具體的看到方波的頻域構成，實現的數學工具就是傅利葉級數。
2 傅利葉級數與應用
乙個週期為的週期訊號，如果滿足狄里赫利條件，即在乙個週期內，處處連續或只存在有限個躍度有限的間斷點，有限個極值點，並絕對可積，則此訊號可以展開為傅利葉級數，它有三個等價的公式：
1-4）
1-5）
1-6）
方波的傅利葉級數展開式：
三角波的傅利葉級數展開式：
通過以上兩個例項可見，傅利葉級數把乙個複雜週期訊號表示成為許多正(餘)弦訊號之和的形式，由於級數中的每一項都對應乙個頻率分量，並且，既是該分量的時域描述又是頻域描述。因此，傅利葉級數本身就是複雜週期訊號的頻域描述。
方波和三角波的傅利葉級數展開式表明兩訊號都是多頻結構。但是，在兩者的頻率結構中，各分量的幅值、初相位與頻率的對應關係是不同的。要更清楚地了解複雜週期訊號的頻率結構，就需要以週期訊號的傅利葉級數展開式為依據，做進一步的頻諧分析。
3 週期訊號的頻譜分析
對週期訊號進行頻譜分析，首先需要從概念性的分析開始。
物理概念
週期訊號的頻譜將根據傅利葉級數的式(1-5)做出
定性地看，以上傅利葉級數式中的左端項代表某個週期訊號，它等於右端的許多項之和表明週期訊號作為乙個整體，可以分解為等式右端的各個區域性。具體看，右邊第一項是個常數，它是不隨時間變化的靜態量或稱直流量；之後級數中包含的是許多頻率不同的諧波分量。
乙個複雜週期訊號可以分解成乙個靜態量(時則無此)和許多頻率不同的離散諧波分量之和。
定量地看，前面傅利葉級數式中有兩個隨整數自變數變化的函式序列和，它們分別代表各次諧波分量的幅值和初相角，當諧波的頻率的作離散變化時，和都有確定的值與之對應。由此可知傅利葉級數中，序列反映的是週期訊號中各次諧波的幅值與頻率的對應關係，稱之為幅值頻諧；序列反映的是週期訊號中各次諧波的初相角與頻率的對應關係，稱之為相位頻諧。幅值頻譜與相位頻譜共同反映的是週期訊號的頻率結構。
以方波和三角波為例對週期訊號進行了頻譜分析，可以歸納出關於複雜週期訊號頻譜的以下特點：
①週期訊號所含各分量的頻率是離散的。
②各次諧波的頻率關係具有諧波性，即任意兩諧頻之比都是整數或整數比即為有理數。各次諧波的頻率都是基額的整數倍，相鄰頻率的間隔為或它的整數倍。
③複雜週期訊號的幅值頻譜是收斂的。即諧波的頻率越高，其幅值越小，在整個訊號中所佔的比重也就越小。這表明雖然複雜週期訊號在理論上有無窮多個頻率成分，但佔訊號主要部分的是有限多個低次諧波，高次諧波對訊號的構成影響很小，可以忽略、這個結論很重要，因為這就使我們可以用工作頻帶有限寬的裝置或儀器，去測量像方波這樣的頻域無限寬的週期訊號，雖然這樣會對高頻分量有所丟失，但仍可能滿足工程測試所要求的精度。
通過週期訊號的時域與頻域描述的例項可以看出：兩種描述所包含的資訊要素是完全相同的，所不同的是兩者描述訊號的角度不同，看到的訊號側面不同。時域描述是從外部反映訊號的整體變化，而頻域描述則是從內部揭示訊號的區域性構成．形象地說，將時域描述變換為頻域描述，如同對訊號由外向內進行一番「透視」，使訊號的內部結構顯現出來。
訊號頻譜的出現為人類認識客觀世界開闢了乙個新的領域，許多過去難以認清的動態現象經過頻譜分析就可以一日了然。例如，多軸旋轉機械振源的分析，旋轉機械每根轉軸的轉速一定時，因其本身的動不平衡所引起的振動頻率就是確定的，乙個機器有許多轉軸，機器上總的振動是由各轉軸引起的振動疊加而成的。如果機械振動過大，應如何尋找其振源呢？
我們可以對總的振動訊號作幅值頻譜分析，根據頻譜曲線上尖峰所對應的頻率值，尋找與之對應轉軸的頻率，這樣就可以確定哪些軸是引起振動的根源所在，從而採取措施消除或減小振動。另外，在音響的分析以至合成的研究中頻譜分析也是卓有成效的技術手段。
二、非週期訊號
1 概述
兩個或兩個以上的正、余弦訊號疊加，如果任意兩個分量的頻率比不是有理數，或者說各分量的週期沒有公倍數，那麼合成的結果就不是週期訊號，這種由沒有公共整數倍週期的各個分量合成的訊號是一種非週期訊號。非週期訊號又分為準週期訊號和瞬變訊號。準週期訊號的頻譜圖仍然離散的，保持著週期訊號的的特點，所以通常習慣上所稱的非週期訊號是指瞬變訊號。
常見的非週期訊號有矩形脈衝訊號、指數衰減訊號、截斷的余弦訊號、單位脈衝訊號等。
非週期訊號不能用數學上的傅利葉級數分解成許多正弦倍號之和，但是其頻域描述可以採用從週期訊號援引過來的方法加以解決。其思路是把非週期訊號仍當作週期訊號來看待，只是認為週期訊號的週期極大，在無限遠處重複。在週期訊號中，頻譜圖上相鄰頻譜譜線的頻率間隔為，因週期，使即，這就意味著週期無限擴大時，頻率間隔成為乙個微量，週期訊號頻譜線的間隔無限縮小，譜線無限密集，以至離散的譜線演變成一條連續的曲線。
由上所述，可以將非週期訊號理解為是由無限多個頻率極其接近的頻率分量合成的。在週期訊號中，對離散頻率分量求和採用級數和，那麼，演變到非週期訊號中，對連續頻率分量求和則要使用積分和，因此，對應於週期訊號的傅利葉級數將變為非週期訊號的傅利葉積分。
2 傅利葉積分與變換
週期訊號傅利葉級數的復指數表示式為
其中在離散頻譜中既表示週期訊號的基頻，又表示相鄰兩根譜線間的間隔。
將帶入中得
當，此式有兩個變化：
①積分從時間軸的區域性擴充套件到時間軸的全部；
②由於，在時，，離散變化的頻率轉化為連續變化的頻率無限多項的連加轉換成連續積分，於是就得到：
此等式右邊中括號裡的部分，相當於傅利葉級數復指數形式中的項，它是的函式，記為：
則： 這樣與建立起確定的對應關係，這種對應關係在數學上稱為傅利葉變換對，記作：。稱為傅利葉(正)變換，稱為傅利葉逆變換也即傅利葉積分。
用來代替，消除常數項，這樣，傅利葉變換對就變為如下形式：
及與非週期訊號相對應，為其時域描述，或為其頻域描述。
3 非週期訊號的頻譜分析
傅利葉級數表示式：
傅利葉積分表示式：
將以上兩式進行對比可以看出，非週期訊號的與週期訊號的相對應，因代表週期訊號中各諧波的幅值，故應代表非週期訊號中諧波的幅值。然而，如前所知，因為乙個無窮小量，故也為無窮小量，這就是意味著非週期訊號中所含各諧波分旦的幅值均趨近於零。
從訊號所具有的能量來考慮，訊號的能量應分布在各頻率分量之中，由於分量無窮多使譜線密集成線，所以每個頻率分量的能量即幅值也就減小為無窮小。但是，訊號的能量不會因訊號的分解而消失為零，無數多的無窮小量的集合為無限量值即訊號的總能量。因此，可以肯定訊號的能量分布依然存在，雖然每個分量的幅值均為無窮小量，但是在頻率個同的分量上，幅值的分布仍將有所不同，反映這種不同的頻譜包絡線具有相應的形狀。
現在需要先做—下數學上的處理，將除以，這樣使得與分離。它不再是無窮小量，可以用來做頻譜圖了，但物理概念要發生相應的變化，將也除以，由於在概念為頻率寬度簡稱頻寬，所以就代表單位頻寬上諧波的幅值。那麼，與之相對應的就是非週期訊號在單位頻寬上幅值，也就是說代表的是非週期訊號中諧波的幅值密度與頻率的對應關係。
通常是復變函式，可以寫成：
也可表達為
則及或稱作非週期訊號的幅值頻譜，或稱為非週期訊號的相位頻譜。因此，或是非週期訊號的頻譜函式。
和分別稱作非週期訊號的實頻譜和虛頻譜，有時也可以用來做頻譜圖。
三、小結
通過單邊指數脈衝和矩形脈衝兩個非週期訊號的頻譜例項，可以總結出關於瞬變非週期訊號的以下特點：
①非週期訊號的頻譜是連續的，這是與週期訊號頻譜的最大區別。
②非週期信導中含有從的所有頻率成分(個別點除外)。雖然週期訊號也含有的無數多個頻率成分，但都是可列的，而非週期訊號則是無窮多不可列的。
③非週期訊號的幅值頻譜從總體變化趨勢上看具有收斂性，即諧波的頻率越高，其幅值密度就越小。這表明與週期訊號一樣，雖然瞬變非週期訊號在理論上具有無窮多的頻率分量，但訊號的主要分量都集中在低頻區段上，其餘的高頻分量可以忽略不計。
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