第8章3d實體結構分析
analysis of 3d structural solids
真實世界中的問題都是3d的，但是很多問題可以簡化成2d或甚至於1d的問題。不過這種簡化的過程需要具備較多的背景知識及經驗。如果你把乙個問題model成3d的問題來解，往往是最簡單、最方便的（但是卻是最耗計算時間的），因為分析模型會最接近真實世界中的模型，這就是為什麼我們從3d的問題來著手。
但是原則上乙個問題如果能做適當的精簡（譬如簡化成2d的問題，或者利用其對稱性），則你最好盡量做精簡的工作。這種精簡工作是分析工程師的訓練重點之一，不只是可以有效率地利用計算機計算資源，更重要的是，通常比較能夠抓住問題的本質。
第1節我們要介紹乙個最簡單、最常用的3d實體結構元素，在ansys中的編號叫做solid45。當我們使用「3d實體結構」這個名詞時，是為了區別於如「3d梁結構」、「3d版殼結構」等名詞。這些可以認為是1d（梁元素）或2d（板殻元素）的元素布置在3d的空間上，而3d實體結構是指3d元素布置在3d空間上。
第2節以乙個例項來應用這個元素。除了作為元素的應用練習外，這個例項也是作為前幾章所介紹的命令的綜合應用。第3節會瀏覽其它的3d實體元素，包括結構、熱傳、流場、電場、磁場、及偶合場問題的元素。
第4節以乙個練習題作為結束。
第8.1節 solid45：3d實體結構元素
solid45: 3d structural solid element
當你查閱ansys element reference [ref. 6] 中的某乙個元素時，說明的文字可以分成三個主題：element description、input data、及output data。
本小節也是依此順序來介紹solid45元素。在介紹solid45元素之前，我們先強調一點：本書所提到的元素名稱，如solid45、beam3等，這些編號是ansys的專用編號，跳脫ansys之外時，這些編號並沒有很大的意義。
相對的，以3d structural solid element來取代solid45，或以2d beam element來取代beam3則是較適當的。
8.1.1 solid45元素描述
figure 8-1 solid45 element [ref. 6]
solid45是用來建構3d實體結構的最基本元素（在此是指ansys最早發展的元素），如figure 8-1所示，本**直接取自ref. 6, solid45。這個元素有8個位於頂點的節點（編號為i, j, k, l, m, n, o, p），所以是屬於線性元素 [sec.
2.3.5]；每乙個節點有3個自由度，分別為ux, uy, uz，亦即x、y、z三個方向的變位。
這個元素的形狀通常是乙個六面體（hexahedron），但是當某些節點重迭在一起時，這個元素可以退化（degenerate）成三角柱（pri**）或是四面體（tetrahedron），如figure 8-1右邊所示。當ansys在自動切割網格時，需要用到三角柱或四面體時會把某些節點重迭在一起。
這個元素除了支援linear elasticity外，還支援 plasticity、creep等非線性材料模式，及large deflection、large strain等幾何非線性功能；其它支援的功能包括stress stiffening等。solid45雖然包含很多功能，但是因為其歷史非常悠久，所以並未包含較新發展的理論，尤其是大變形理論及新的材料模式，所以ansys後來發展其它元素來改善這些缺失，這些較新的元素編號都是以18開頭（例如solid45所相對應的solid185元素），以後我們統稱之為18x elements。不過對線性分析或簡單的非線性分析而言，用solid45或solid185，其結果應該是一致的。
8.1.2 solid45輸入資料
solid45的輸入資料可以整理成如figure 8-2的表。solid45不需輸入任何real constants。material properties包括ex（young』s modulus）、nuxy（poisson』s ratio）、gxy（shear modulus）、alpx（coefficient of thermal expansion）、dens（mass density）、damp（damping）。
注意，在figure 8-2中假設材料是等向性的，所以只列出ex、nuxy、gxy、alpx等材料性質。事實上solid45支援正交性材料 [sec. 4.
4.5]，你可以輸入主方向（x、y、z方向）的材料性質，譬如ex、ey、ez。對於線性彈性材料而言，最多只要這些性質就夠了。
事實上依分析類別的不同，有些性質是不需輸入的。對任何問題而言，ex、nuxy、gxy三者必須輸入其中二者，第三者依eq. 2.
12計算。alpx只有在有熱負載時才需要輸入（因為需要計算熱變形量）。dens只有在動力分析（antype = modal、harmic、trans）時 [sec.
4.2] 或需要計算慣性力（使用acel、omega命令）時 [sec. 7.
1.1] 才需要輸入。動力分析時，可以輸入材料性質damp或其它方式來指定阻尼值，我們將在動力分析的章節 [chapter 15] 再來討論。
除此之外，當你使用非線性材料模式時，你需要輸入更多的材料引數。solid45支援plasticity、creep等非線性材料模式，關於plasticity請參閱ref. 6, sec.
2.5.1.
nonlinear stress-strain materials，關於creep請參閱ref. 6, sec. 2.
5.8. creep equations。
figure 8-2 solid45 input summary
figure 8-2中的su***ce loads是指當你使用諸如sf或sfe命令 [sec. 7.1.
1] 時，這個元素可以輸入的su***ce loads種類。這個元素唯一可以輸入的su***ce loads是pressure；當需要指定pressure作用的麵時（sfe命令的lkey引數），這裡也標明每個面的編號，譬如第乙個面是指jilk。body loads是當你使用諸如bf或bfe命令 [sec.
7.1.1] 時，這個元素可以輸入的body loads種類。
這個元素唯一可以輸入的body loads是temperature（慣性力以acel、omega輸入），你甚至可以分別對八個節點輸入不同的溫度。
接下來是keyopt』s [sec. 6.3.
2]。keyopt(1)是控制這個元素要不要包含額外的形狀函式（extra displacement shapes）。我們在sec.
2.3.4介紹了形狀函式（shape functions）的觀念，形狀函式是用來內差變位場的，所以它們決定了變位場的形式，譬如形狀函式是線性時，這個元素的變位會維持所有的邊為直線、所有的面為平面。
原始的solid45元素（未包含額外的形狀函式時）就是乙個線性元素，因為要維持所有的邊為直線、所有的面為平面，所以顯得相當「僵硬」。事實上原始的solid45單一元素完全無法彎曲，當用它來建構諸如梁、版殼等以彎曲為主的結構時，結構剛度往往高估很多 [ref. 3, sec.
3.6. improved bilinear quadrilateral]，甚至到達無法接受的程度。
解決這個問題的方法之一是加上一些額外的形狀函式，使得solid45元素可以教合理地彎曲，這就是keyopt(1)的含意，它的預設值是有包含額外的形狀函式。大部分的情形採用預設值是較合理的（雖然多了一點點計算工作）。
keyopt(2)是要不要使用reduced integration，以下簡單地說明這是什麼意思。有限元素法是用高斯積分方法 [eg., ref.
2, sec. 4.5.
gauss quadrature and isoparametric elements] 去計算每乙個元素的剛度矩陣。高斯積分法的精度依「高斯積分點」的增加，積分值就越準確，但是積分時間也依積分點的數目而倍數地增加。對1d的積分而言，如果只有n個高斯積分點，我們說它是order = n的高斯積分。
對2d的積分而言，order = n時則有n2個高斯積分點；而對3d的積分而言，order = n時則有n3個高斯積分點。一般常用的是order = 1, 2, 或3，ansys為了節省計算時間及其它原因 [ref. 3, sec.
4.7. stress calculation and gauss points]，其預設值是採用order = 2。
你可以選擇使用order = 1，這就是所謂reduced integration。選用reduced integration時節省了很多計算時間（尤其需要很多計算工作的動態分析問題），精度常常還是可以接受的（只要元素切得夠細），但是卻產生另外乙個問題：hourglass instability；ansys設計了一些稱為hourglass control的機制來避免這個問題。
更詳細的解說請參考ref. 3, sec. 4.
6. choice of quadrature rule. instability。
[, ] keyopt(4)可以選擇element cs：平行於global cs，或以元素的i-j邊為x軸而以i-j-k-l為x-y平面。keyopt(5)和keyopt(6)，是在控制數值的輸出。
8.1.3 solid45輸出資料
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