二次函式知識點
一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．二次函式的定義域是全體實數．
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式的基本形式
1. 二次函式基本形式：的性質：
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
2.的性質：
上加下減。
3.的性質：
左加右減。
4.的性質：
三、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
四、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函式圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：
頂點、與軸的交點、以及關於對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函式的性質
1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
七、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
注意：任何二次函式的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函式都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函式解析式的這三種形式可以互化.
八、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1. 二次項係數
二次函式中，作為二次項係數，顯然．
⑴ 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；
⑵ 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．
總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數
在二次項係數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
總結： 3. 常數項
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．
總之，只要都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
九、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表示式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表示式已知的拋物線）的頂點座標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點座標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的表示式．
十、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
⑸ 與二次函式有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函式；下面以時為例，揭示二次函式、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：
十一、函式的應用
二次函式應用
二次函式影象與性質口訣:二次函式拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現；開口、大小由a斷,c與y軸來相見,b的符號較特別，符號與a相關聯；頂點位置先找見，y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點座標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱軸,縱標函式最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不同表達能互換。
一、二次函式的定義
例1、已知函式y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函式，求m的值。
練習、若函式y=(m2+2m－7)x2+4x+5是關於x的二次函式，則m的取值範圍為
二、五點作圖法的應用
例2. 已知拋物線，
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸並用五點法作圖
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b，求線段ab的長．
1、（2009泰安）拋物線的頂點座標為
（a）（-2，7） （b）（-2，-25） （c）（2，7） （d）（2，-9）
2、(2023年南充)拋物線的對稱軸是直線（ ）
a． b． c． d．
3、（2023年遂寧）把二次函式用配方法化成的形式
三、及的符號確定
例3. 已知拋物線如圖，試確定：
（1）及的符號；（2）與的符號。
1、（2023年南寧市）已知二次函式（）的圖象如圖所示，有下列四個結論：④，其中正確的個數有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
2、（2023年黃石市）已知二次函式的圖象如圖所示，有以下結論其中所有正確結論的序號是（ ）
abcd．①②③④⑤
3、（2023年棗莊市）二次函式的圖象如圖所示，則下列關係式中錯誤的是（ ）
a．a＜0
b．c＞0
c．＞0
d．＞0
4、（2023年甘肅慶陽）圖12為二次函式的圖象，給出下列說法：
①；②方程的根為；③；④當時，y隨x值的增大而增大；⑤當時，．
其中，正確的說法有請寫出所有正確說法的序號）
5、(2023年鄂州)已知=次函式y＝ax+bx+c的圖象如圖．則下列5個代數式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大於0的個數為（ ）
a．2b 3c、4d、5
四、二次函式解析式的確定
例4. 求二次函式解析式：
（1）拋物線過（0，2），（1，1），（3，5）；
（2）頂點m（-1，2），且過n（2，1）；
（3）已知拋物線過a（1，0）和b（4，0）兩點，交y軸於c點且bc＝5，求該二次函式的解析式。
北師大版中考複習二次函式經典總結及典型題
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二次函式培優經典題
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