1魯教版初四知識點
魯東大學商學院經濟系李建鵬
第一章解直角三角形
一、銳角三角函式
在直角三角形abc 中,a 、b 、c 分別是∠a 、∠b 、∠c 的對邊,∠c 為直角。則定義以下運算方式:
sin ∠a=∠a 的對邊長/斜邊長，sin a 記為∠a 的正弦；sina=a/c cos ∠ a=∠a 的鄰邊長/斜邊長，cos a 記為∠a 的余弦；cosa=b/c
tan ∠ a=∠a 的對邊長/∠a 的鄰邊長,tana=sina/cosa=a/ b tan a 記為∠a 的正切 cota=∠a 的鄰邊長/∠a 的對邊長,cota=cosa/sina=b/c cota 記為∠a 的餘切 1.sin=對/斜 cos=鄰/斜 tan=對/鄰 cot=鄰/對 2.sina=cos(90°-a)
cos a=sin(90°-atana=cot(90°-a) cota=tan(90°-a) tanacota=1 tana=sina/cosa sin a ＋cos a ＝１ 3.增減性(a 為銳角)
sina 、tana 隨著∠a 的增大而增大,cosa 、cota 隨著∠a 的增大而減小 4.取值範圍:00,cota>0
二、30°,45°,60°角的三角函式
三角函式銳角α
正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 餘切 cot α 30°
451 60°
三、解直角三角形及其應用
1.解直角三角形的概念:
在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果知道兩個元素(其中至少有乙個是邊)，就可以求出其餘三個元素。
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程，叫解直角三角形。
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32.解直角三角形的依據:
(1)三邊之間的關係:a2+b2=c2(勾股定理)
(2)兩銳角之間的關係:∠a＋∠b＝90°
(3)邊角之間的關係:sina=a/c,cosa=b/c,tana=a/ b,cot=b/a
3.解直角三角形的原則
(1)有角先求角,無角先求邊
(2)有斜用弦,無斜用切；寧乘毋除,取原避中。
這兩句話的意思是:當已知或求解中有斜邊時,就用正弦或余弦,無斜邊時,就用正切或餘切；當所求的元素既可用乘法又可用除法時,則用乘法,不用除法；既可以由已知資料又可由中間資料求解時,則用已知資料,盡量避免用中間資料。
4.解直角三角形的應用
(1)把實際問題轉化成數學問題,這個轉化包括兩個方面:一是將實際問題的圖形轉化為幾何圖形,畫出正確的示意圖；二是將已知條件轉化為示意圖中的邊、角或它們之間的關係；(2)把數學問題轉化成解直角三角形問題,如果示意圖不是直角三角形,可新增適當的輔助線,畫出直角三角形；
(3)仰角和俯角
在進行觀察或測量時，
從下向上看,視線與水平線的夾角叫做仰角；
從上往下看,視線與水平線的夾角叫做俯角。
第二章二次函式
一、對函式的再認識
定義:一般地,在乙個變化過程中有兩個變數,對於自變數x某一範圍內的每乙個確定值,y都有惟一確定的值與它對應,那麼就說y是x的函式。
強調:對於函式概念的理解,主要抓住以下三點:
①函式不是數,是指在乙個變化過程中兩個變數之間的關係；
②自變數每乙個確定值,函式有乙個並且只有乙個值與之對應；
③自變數的取值範圍。
函式值的定義:對於自變數在可以取值範圍內的乙個確定的值函式有惟一確定的對應值,這個對應值叫做當時函式的值,簡稱函式值。
二、二次函式及其表示式
1.定義:我們把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數,a≠0)的函式叫做二次函式。ax2叫做二次項,a為二次項係數,bx叫做一次項,b為一次項係數,c為常數項。
注意:二次函式的二次項係數不能為零。因為如果a為0,就沒有二次項,也就談不上什麼二次函式!
2.三種表示式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k,對稱軸x=h,頂點座標是(h,k)
(3)交點式:y=(x-x1)(x-x2),與x軸兩交點座標為(x1,0)、(x2,0)
3.確定函式的解析式
一般地,在所給條件中已知頂點座標時,可設頂點式y=a(x-h)2+k,在所給條件中已知拋物線與x軸兩交點座標或已知拋物線與x軸一交點座標與對稱軸，可設交點式y=(x-x1)(x-x2)；在所給的三個條件是任意三點時,可設一般式y=ax2+bx+c,然後組成三元一次方程組來求解。
三、二次函式的影象與性質
二次函式的圖象是拋物線,可用描點法畫出二次函式的圖象,是乙個軸對稱圖形,對稱軸是直線x=-b/2a
對於一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數,a≠0),當x=-b/2a時,y最大或最小。即拋物線頂點座標為(-b/2a,4ac-b2/4a)
(1)a決定開口方向:a>0開口向上；a<0開口向下
補充:|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大
①當a>0時,開口向上,對稱軸左側(即x<-b/2a時),y隨x增大而減小；對稱軸右側(x≥-b/2a),y隨x增大而增大。當x=-b/2a時,有最小值y=4ac-b2/4a；
②當a<0時,開口向下,對稱軸左側(即x<-b/2a時),y隨x增大而增大；對稱軸右側((x≥-b/2a)),y隨x增大而減小。當x=-b/2a時,有最大值y=4ac-b2/4a。
(2)a、b共同決定對稱軸:拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-b/2a
a、b同號(即ab>0,則-b/2a<0)對稱軸在y軸左側
a、b異號(即ab<0,則-b/2a>0)對稱軸在y軸右側
b=0對稱軸是y軸
(3)c決定拋物線與y軸的交點(與y軸交點的橫座標為0,即x=0,此時縱座標y=c):
c>0與y軸正半軸相交
c<0與y軸負半軸相交
c=0經過座標原點(即x=0時,縱座標y=c=0)
(4)δ=b2-4ac確定拋物線與x軸交點的個數(聯絡一元二次方程):
b2-4ac>0與x軸有兩個交點
b2-4ac=0與x軸有乙個交點
b2-4ac<0與x軸無交點
(5)拋物線y=ax2+bx+c在x軸上方,即函式y=ax2+bx+c(a≠0)的值永遠是正值的條件是
a>0且b2-4ac<0(開口向上且與x軸無交點)
(6)拋物線y=ax2+bx+c在x軸下方,即函式y=ax2+bx+c(a≠0)的值永遠是負值的條件是
a<0且b2-4ac<0(開口向下且與x軸無交點)
同樣自己可確定不論x取何值時,函式y=ax2+bx+c(a≠0)的值永遠是非負數或非正數的條件
四、二次函式與一元二次方程
二次函式的影象與x軸的交點的橫座標就是一元二次方程的根,反之也成立。
第三章圓
一、圓1.定義:
(1)幾何說:平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。其中,定點稱為圓心,定長稱為半徑的長（通常也稱為半徑）。以點o為圓心的圓記作⊙o,讀作「圓o」
(2)軌跡說:平面上一動點以一定點為中心,一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周,簡稱圓
(3)集合說:到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓
連線圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑，用字母r表示。通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑,用字母d表示。圓心決定圓的位置,半徑和直徑決定圓的大小。
在同乙個圓或等圓中,半徑都相等,直徑也都相等,直徑是半徑的2倍,半徑是直徑的1/2。
2.點與圓的位置關係有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內
(1)點在圓外，即這個點到圓心的距離大於半徑；
(2)點在圓上，即這個點到圓心的距離等於半徑；
(3)點在圓內，即這個點到圓心的距離小於半徑。
3.圓的有關概念
(1)弧和弦:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧,小於半圓的弧稱為劣弧。連線圓上任意兩點的線段叫做弦。圓中最長的弦為直徑。
(2)圓心角和圓周角:頂點在圓心上的角叫做圓心角。圓心角的度數與它所對的弧的度數相等。頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另乙個交點的角叫做圓周角。
(3)弦心距:過圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離
(4)等弧:在同圓中能夠重合的弧叫等弧
二、圓的對稱性
1.圓是周對稱圖形,圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線,它有無數條對稱軸。
2.圓也是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心。乙個圓繞著它的圓心旋轉任意乙個角度,都能與原來的圖形重合。這是圓特有的乙個性質:圓的旋轉不變性
3.垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的兩條弧
特別注意:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧
垂徑定理的逆定理:平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,並且垂直平分弦
垂徑定理的推論:圓的兩條平行弦所夾的弧相等
4.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等
推論:在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等
三、圓周角
1.頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另乙個交點的角叫做圓周角
2.圓周角定理:同弧(等弧)所對的圓周角相等,都等於它所對的圓心角的一半
3.在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等
4.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑
四、確定圓的條件
1.三點定圓
(1)經過兩點a、b的圓的圓心**段ab的垂直平分線上
(2)經過三點a、b、c的圓的圓心應該這兩條垂直平分線的交點o的位置
(3)定理:不在一條直線上的三個點確定乙個圓(三點定圓)
4.三角形與圓的位置關係
(1)三角形的三個頂點確定乙個圓,這圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形。外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的的交點,叫做三角形的外心
(2)銳角三角形的外心位於三角形內,直角三角形的外心位於直角三角形斜邊中點,鈍角三角形的外心位於三角形外
5.四邊形與圓的位置關係
(1)如果四邊形的四個頂點在乙個圓,這圓叫做四邊形的外接圓，這個四邊形叫做圓的內接四邊形。
(2)重要性質:
①圓內接四邊形對角互補；
②圓內接四邊形對的乙個外角等於它的內對角；
③對角互補的四邊形內接於圓。
五、直線和圓的位置關係
1.三種位置關係
(1)直線和圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交。這時直線叫做圓的割線；
(2)直線和圓有唯一公共點時,叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點；
(3)直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離。
直線和圓的位置關係是用直線和圓的公共點的個數來定義的,即直線與圓沒有公共點、只有乙個公共點、有兩個公共點時分別叫做直線和圓相離、相切、相交。
2.用圓心到直線的距離和圓半徑的數量關係來揭示圓和直線的位置關係
(1)回憶:直線外一點到這條直線垂線段的長度叫點到直線的距離；鏈結直線外一點與直線所有點的線段中,最短的是垂線段
(2)設⊙o的圓心o到直線l的距離為d,⊙o的半徑為r,則
①直線l 和⊙o相離d>r
②直線l 和⊙o相切d=r
③直線l 和⊙o相交d經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
3.切線定理:圓的切線垂直於過切點的半徑
4.切線長定理
(1)切線長:在經過圓外一點的圓的切線上,這點和切點間的線段的長,叫做切線長
(2)切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
5.內切圓和內心的定義:與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的內心
六、圓和圓的位置關係
1.圓心距:兩圓圓心之間的距離叫做圓心距
2.連心線:通過兩圓圓心的直線叫做連心線
3.圓和圓的位置關係(設圓心距為d,r和r分別為兩圓半徑且r≥r):
(1)外離d>r+r,公共點0(兩個圓沒有公共點,並且每個圓上的點都在另乙個圓的外部)
(2)外切d=r+r,公共點1(兩個圓有唯一公共點,並且除這公共點外,每個圓上的點都在另乙個圓的外部)
(3)相交r-r(4)內切d=r-r公共點1(兩個圓有唯一公共點,並且除這公共點外,每個圓上的點都在另乙個圓的內部)
(5)內含d②當兩個圓有唯一公共點時,叫做兩圓相切(包括外切和內切)。
4.性質
(1)相切兩圓的性質:如果兩圓相切,切點一定在連心線上；
(2)相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦；
證明:經過相交兩圓的乙個交點,作兩圓的公共弦的垂線,則這條直線上被兩圓所截得的線段等於圓心距的2倍。
在解決相交兩圓的問題時,注意其公共弦和連心線的作用是探求思路的重要手段。
七、弧長與扇形的面積
1.把圓周等分成360份,每乙份的弧叫做1°的弧；1°的弧所對的圓心角叫做1°的角。
2.在半徑為r的圓中,n°的圓心角所對的弧長的計算公式為:l=nπr/180
3.如果扇形的半徑為r,圓心角為n°,那麼扇形的面積的計算公式為:s扇形=nπr2/360
4.比較扇形面積(s)公式和弧長(l)公式,你能用弧長來表示扇形的面積嗎?s=1/2rl
八、圓錐的側面積
1.概念:圓錐可以看成是直角三角形以它的一條直角邊所在的直線為軸,其餘各邊旋轉一周而成的面所圍成的幾何體。
斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面。無論轉到什麼位置,這條斜邊都叫做圓錐的母線。另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面。
圓錐有乙個頂點和乙個底面,底面是乙個圓。鏈結圓錐頂點和底面圓心的線段和圓錐底面垂直,這條線段叫做圓錐的高線。
2.圓錐的基本特徵:
(1)圓錐的高通過底面的圓心,並且垂直於底面；
(2)圓錐的母線長都相等；
(3)經過圓錐的高的平面被圓錐截得的圖形是等腰三角形；
(4)圓錐的側面展開圖是半徑等於母線長、弧長等於圓錐底面周長的扇形。
3.圓錐體展開圖由乙個扇形(圓錐的側面)和乙個圓(圓錐的底面)組成。此扇形的半徑r是圓錐的母線,扇形的弧長是圓錐底面圓的周長
乙個圓錐的體積等於與它等底等高的圓柱的體積的1/3
4.圓錐的側面積=1/2×母線長×圓錐底面的周長=π×圓錐底面半徑×母線長
5.高(h),底半徑(r),母線(l)之間的關係:h2+r2=l2 (勾股定理得出)
6.圓錐的全面積:圓錐的側面積與底面積的和叫做圓錐的全面積(或表面積)
第四章統計與概率(略)
必修4數學知識點
第一章 三角函式 1.1.1 任意角 1 正角 負角 零角 象限角的概念.2 與角終邊相同的角的集合 1.1.2 弧度制 1 把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.2 3 弧長公式 4 扇形面積公式 1.2.1 任意角的三角函式 1 設是乙個任意角，它的終邊與單位圓交於點，那麼 2 設點為...
數學知識點
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數學知識點總結
十字交叉法 高中的關於一元二次的不等式 方程 函式都可以用十字交叉法來求 用 穿軸法 解高次不等式 奇穿，偶切 從最大根的右上方開始 不等式恆成立問題 ax bx c 0 a 0 恆成立則拋物線開口向上，a 0位於x軸上方，且最多與x軸有乙個焦點 方程ax bx c 0無解或只有乙個重根，即 0 所...