第11講巧數圖形
數出某種圖形的個數是一類有趣的圖形問題。由於圖形千變萬化，錯綜複雜，所以要想準確地數出其中包含的某種圖形的個數，還真需要動點腦筋。要想有條理、不重複、不遺漏地數出所要圖形的個數，最常用的方法就是分類數。
例1數出下圖中共有多少條線段。
分析與解：我們可以按照線段的左端點的位置分為a，b，c三類。如下圖所示，以a為左端點的線段有3條，以b為左端點的線段有2條，以c為左端點的線段有1條。
所以共有3＋2＋1＝6(條)。
我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構成的來分類。如下圖所示，ab，bc，cd是最基本的小線段，由一條線段構成的線段有3條，由兩條小線段構成的線段有2條，由三條小線段構成的線段有1條。
所以，共有3＋2＋1＝6(條)。
由例1看出，數圖形的分類方法可以不同，關鍵是分類要科學，所分的型別要包含所有的情況，並且相互不重疊，這樣才能做到不重複、不遺漏。
例2 下列各圖形中，三角形的個數各是多少？
分析與解：因為底邊上的任何一條線段都對應乙個三角形(以頂點及這條線段的兩個端點為頂點的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數就是三角形的總個數。由前面數線段的方法知，
圖(1)中有三角形1＋2＝3(個)。
圖(2)中有三角形1＋2＋3=6(個)。
圖(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(個)。
圖(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(個)。
圖(5)中有三角形
1＋2＋3＋4＋5＋6=21(個)。
例3下列圖形中各有多少個三角形？
分析與解：(1)只需分別求出以ab，ed為底邊的三角形中各有多少個三角形。
以ab為底邊的三角形abc中，有三角形
1＋2＋3＝6(個)。
以ed為底邊的三角形cde中，有三角形
1＋2＋3＝6(個)。
所以共有三角形6＋6=12(個)。
這是以底邊為標準來分類計算的方法。它的好處是可以借助「求底邊線段數」而得出三角形的個數。我們也可以以小塊個數作為分類的標準來計算：圖中共有6個小塊。
由1個小塊組成的三角形有3個；
由2個小塊組成的三角形有5個；
由3個小塊組成的三角形有1個；
由4個小塊組成的三角形有2個；
由6個小塊組成的三角形有1個。
所以，共有三角形
3＋5＋1＋2＋1＝12(個)。
(2)如果以底邊來分類計算，各種情況較複雜，因此我們採用以「小塊個數」為分類標準來計算：
由1個小塊組成的三角形有4個；
由2個小塊組成的三角形有6個；
由3個小塊組成的三角形有2個；
由4個小塊組成的三角形有2個；
由6個小塊組成的三角形有1個。
所以，共有三角形
4＋6＋2＋2＋1＝15(個)。
例4右圖中有多少個三角形？
解：假設每乙個最小三角
形的邊長為1。按邊的長度來分
類計算三角形的個數。
邊長為1的三角形，從上到下一層一層地數，有
1＋3＋5＋7=16(個)；
邊長為2的三角形(注意，有乙個尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(個)；
邊長為3的三角形有1＋2＝3(個)；
邊長為4的三角形有1個。
所以，共有三角形
16＋7＋3＋1＝27(個)。
例5數出下頁左上圖中銳角的個數。
分析與解：在圖中加一條虛線，如下頁右上圖。容
易發現，所要數的每個角都對應乙個三角形(這個角與它所截的虛線段構成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問題，即所求銳角的個數，就等於從o點引出的6條射線將虛線截得的線段的條數。虛線上線段的條數有
1+2+3+4+5=15(條)。
所以圖中共有15個銳角。
例6在下圖中，包含「*」號的長方形和正方形共有多少個？
解：按包含的小塊分類計數。
包含1小塊的有1個；包含2小塊的有4個；
包含3小塊的有4個；包含4小塊的有7個；
包含5小塊的有2個；包含6小塊的有6個；
包含8小塊的有4個；包含9小塊的有3個；
包含10小塊的有2個；包含12小塊的有4個；
包含15小塊的有2個。
所以共有
1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(個)。
練習11
1.下列圖形中各有多少條線段？
2.下列圖形中各有多少個三角形？
3.下列圖形中，各有多少個小於180°的角？
4.下列圖形中各有多少個三角形？
5.下列圖形中各有多少個長方形？
6.下列圖形中，包含「*」號的三角形或長方形各有多少？
7.下列圖形中，不含「*」號的三角形或長方形各有幾個？
答案與提示練習11
1.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。
3.(1)10；(2)15。
4.(1)9個；(2)16個；(3)21個。
5.(1)60個；(2)66個。
6.(1)12個；(2)32個。
7.(1)21個；(2)62個。
提示：4～7題均採用按所含小塊的個數分類(見下表)，表中空缺的為0。
小學三年級奧數 巧數圖形 知識點與習題
例3下列圖形中各有多少個三角形？分析與解 1 只需分別求出以ab，ed為底邊的三角形中各有多少個三角形。以ab為底邊的三角形abc中，有三角形 1 2 3 6 個 以ed為底邊的三角形cde中，有三角形 1 2 3 6 個 所以共有三角形6 6 12 個 這是以底邊為標準來分類計算的方法。它的好處是...
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