第二章知識點總結
一、平面
通常用乙個平行四邊形來表示.
平面常用希臘字母α、β、γ…或拉丁字母m、n、p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面ac.
在立體幾何中，大寫字母a，b，c，…表示點，小寫字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示它們之間的關係，例如：
a) a∈l—點a在直線l上；aα—點a不在平面α內；
b) lα—直線l在平面α內；
c) aα—直線a不在平面α內；
d) l∩m=a—直線l與直線m相交於a點；
e) α∩l=a—平面α與直線l交於a點；
f) α∩β=l—平面α與平面β相交於直線l.
二、平面的基本性質
公理1 如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上所有的點都在這個平面內.
公理2 如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線.
公理3 經過不在同一直線上的三個點，有且只有乙個平面.
根據上面的公理，可得以下推論.
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面.
推論2 經過兩條相交直線，有且只有乙個平面.
推論3 經過兩條平行直線，有且只有乙個平面.
公理4 平行於同一條直線的兩條直線互相平行
三、證題方法
練習1、已知直線，且直線與都相交，求證：直線共面
（注：《第二教材》25-26頁，題型1、題型2）
四、空間線面的位置關係
共面平行—沒有公共點
(1)直線與直線相交—有且只有乙個公共點
異面(既不平行，又不相交)
直線在平面內—有無數個公共點
(2)直線和平面直線不在平面內平行—沒有公共點
直線在平面外) 相交—有且只有一公共點
(3)平面與平面相交—有一條公共直線(無數個公共點)
平行—沒有公共點
五、異面直線的判定
證明兩條直線是異面直線通常採用反證法.
有時也可用定理「平面內一點與平面外一點的連線，與平面內不經過該點的直線是異面直線」.
練習2、求證：兩條異面直線不能同時和乙個平面垂直
練習3、四面體中，各個側面都是邊長為的正三角形，分別是和的中點，則異面直線與所成的角是多少？
六、線面平行與垂直的判定
(1)兩直線平行的判定
①定義：在同乙個平面內，且沒有公共點的兩條直線平行.
②如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行，即若a∥α,a β
④垂直於同一平面的兩直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b（線面垂直的性質定理）
⑤兩平行平面與同乙個平面相交，那麼兩條交線平行，即若b,則a∥b（面面平行的性質公理）
⑥中位線定理、平行四邊形、比例線段……，α∩β=b,則a∥b.（線面平行的判定定理）
③平行於同一直線的兩直線平行，即若a∥b,b∥c,則a∥c.（公理4）
(2)兩直線垂直的判定
①定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.
②一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b∥c,a⊥b,則a⊥c
③一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這個平面內的任意一條直線.即若a⊥α,bα，a⊥b.
④三垂線定理和它的逆定理：在平面內的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.
⑤如果一條直線與乙個平面平行，那麼這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a∥α,b⊥α,則a⊥b.
(3)直線與平面平行的判定
①定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行.
②如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若aα,bα，a∥b,則a∥α.（線面平行的判定定理）
③兩個平面平行，其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面，即若α∥β,lα，則l∥β.
練習4、如圖：是平行四邊形平面外一點，分別是上的點，且=，
求證：平面
練習5、兩個全等的正方形abcd和abef所在平面相交於ab，m∈ac，n∈fb，且am=fn，
求證 mn∥平面bce （用兩種方法來證
(4)直線與平面垂直的判定
①定義：若一條直線和乙個平面內的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直.
②如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面.即若mα，nα，m∩n=b,l⊥m,l⊥n,則l⊥α.（線面垂直判定定理）
③如果兩條平行線中的一條垂直於乙個平面，那麼另一條也垂直於同一平面.即若l∥a,a⊥α,則l⊥α.
④一條直線垂直於兩個平行平面中的乙個平面，它也垂直於另乙個平面，即若α∥β,l⊥β，則l⊥α.
⑤如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,則l⊥α.(面面垂直的性質定理)
練習6、已知e，f分別是正方形abcd邊ad，ab的中點，ef交ac於m，gc垂直於abcd所在平面．
（1）求證：ef⊥平面gmc．
（2）若ab＝4，gc＝2，求點b到平面efg的距離
練習7、如圖2.3.1-2，在正方形abcd中，e、f分別是bc、cd的中點，g是ef的中點，現在沿ae、af及ef把這個正方形折成乙個空間圖形，使b、c、d三點重合，重合後的點記為h，那麼，在這個空間圖形中必有[ ]
a、ah⊥△efh 所在平面
b、ad⊥△efh所在平面
c、hf⊥△aef所在平面
d、hd⊥△aef所在平面
練習8 、三稜錐的高為，若三個側面兩兩垂直，則為△的（ ）
a． 內心 b． 外心 c． 垂心 d． 重心
(5)兩平面平行的判定
①定義：如果兩個平面沒有公共點，那麼這兩個平面平行，即無公共點α∥β.
②如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行，即若a,bα，a∩b=p,a∥β,b∥β,則α∥β.（面面平行判定定理）
推論：乙個平面內的兩條直線分別平行於另一平面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=p,a∥c,b∥d,則α∥β.
(6)兩平面垂直的判定
①定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那麼這兩個平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.
②如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直，即若l⊥β,lα，則α⊥β.
（面面垂直判定定理）
練習9、 直三稜柱中，各側稜和底面的邊長均為，點是上任意一點，
連線，則三稜錐的體積為（ ）
a． b． c． d．
練習10、在三稜錐中，△是邊長為的正三角形，平面平面，、分別為的中點．
（ⅰ）證明：⊥；
（ⅱ）求二面角--的大小；
（ⅲ）求點到平面的距離．
練習11、正方體中，是的中點． 求證：平面平面
七、空間中的各種角
等角定理及其推論
定理若乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行，並且方向相同，則這兩個角相等.
推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.
1、異面直線所成的角
(1)定義：a、b是兩條異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a′∥a,b′∥b,則a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.
(2)取值範圍：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根據定義，通過平移，找到異面直線所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
2、直線和平面所成的角——斜線和射影所成的銳角
(1)取值範圍0°≤θ≤90°
(2)求解方法
①作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
3、二面角及二面角的平面角
(1)半平面直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的稜，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一稜一半平面組成.
若兩個平面相交，則以兩個平面的交線為稜形成四個二面角.
二面角的大小用它的平面角來度量，通常認為二面角的平面角θ的取值範圍是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角稜上任意一點為端點，分別在兩個麵內作垂直於稜的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.
如圖，∠pcd是二面角α-ab-β的平面角.平面角∠pcd的大小與頂點c在稜ab上的位置無關.
②二面角的平面角具有下列性質：
(i)二面角的稜垂直於它的平面角所在的平面，即ab⊥平面pcd.
(ii)從二面角的平面角的一邊上任意一點(異於角的頂點)作另一面的垂線，垂足必在平面角的另一邊(或其反向延長線)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個面都垂直，即平面pcd⊥α，平面pcd⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定義法
(ii)垂面法
(iii)三垂線法
(ⅳ)根據特殊圖形的性質
(4)求二面角大小的常見方法
先找(或作)出二面角的平面角θ，再通過解三角形求得θ的值.
練習12、正四稜錐（頂點在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等於
練習13、在正四面體中，為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.
13.空間的各種距離
點到平面的距離
(1)定義麵外一點引乙個平面的垂線，這個點和垂足間的距離叫做這個點到這個平面的距離.
(2)求點面距離常用的方法：
1)直接利用定義求
①找到(或作出)表示距離的線段；
②抓住線段(所求距離)所在三角形解之.
2)體積法其步驟是：①在平面內選取適當三點，和已知點構成三稜錐；②求出此三稜錐的體積v和所取三點構成三角形的面積s；③由v=s·h，求出h即為所求.這種方法的優點是不必作出垂線即可求點面距離.
難點在於如何構造合適的三稜錐以便於計算.
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第二章知識點總結 一 平面 通常用乙個平行四邊形來表示.平面常用希臘字母 或拉丁字母m n p來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面ac.在立體幾何中，大寫字母a，b，c，表示點，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中的符號表示...
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立體幾何知識點總結一
第一部分空間幾何體的結構 三檢視和直觀圖 1 多面體的結構特徵 1 稜柱的側稜都互相平行，上下底面是全等的多邊形 2 稜錐的底面是任意多邊形，側面是有乙個公共頂點的三角形 3 稜臺可由平行於底面的平面截稜錐得到，其上下底面是相似多邊形 2 旋轉體的結構特徵 1 圓柱可以由矩形繞一邊所在直線旋轉一周得...