八年級數學上冊複習提綱
第11章數的開方
§11.1平方根與立方根
一、平方根
1、平方根的定義：如果乙個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。（也叫做二次方根）
即：若x2=a，則x叫做a的平方根。
2、平方根的性質：（1）乙個正數有兩個平方根。它們互為相反數；（2）零的平方根是零；（3）負數沒有平方根。
二、算術平方根
1、算術平方根的定義：正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根。
2、算術平方根的性質：（1）乙個正數的算術平方根只有乙個且為正；（2）零的算術平方根是零；（3）負數沒有算術平方根；（4）算術平方根的非負性：≥0。
三、平方根和算術平方根是記號：平方根±（讀作：正負根號a）；算術平方根（讀作根號a）
即：「±」表示a的平方根，或者表示求a的平方根；「」表示a的算術平方根，或者表示求a的算術平方根。
其中a叫做被開方數。∵負數沒有平方根，∴被開方數a必須為非負數，即：a≥0。
四、開平方：求乙個非負數的平方根的運算，叫做開平方。其實質就是：已知指數和二次冪求底數的運算。
五、立方根
1、立方根的定義：如果乙個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根。（也叫做三次方根）
即：若x3=a，則x叫做a的立方根。
2、立方根的性質：（1）乙個正數的立方根為正；（2）乙個負數的立方根為負；（3）零的立方根是零。
3、立方根的記號：（讀作：三次根號a），a稱為被開方數，「3」稱為根指數。
中的被開方數a的取值範圍是：a為全體實數。
六、開立方：求乙個數的立方根的運算，叫做開立方。其實質就是：已知指數和三次冪求底數的運算。
七、注意事項：
1的實質意義：「±」→問：哪個數的平方是a；「」→問：哪個非負數的平方是a；「」→問：哪個數的立方是a。
2、注意和中的a的取值範圍的應用。
如：若有意義，則x取值範圍是x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3）
若有意義，則x取值範圍是填：全體實數）
3、。如：∵，，∴
4、對於幾個算數平方根比較大小，被開方數越大，其算數平方根的值也越大。
如：等。2和3怎麼比較大小？（你知道嗎？不知道就問！！！！！！！）
5、算數平方根取值範圍的確定方法：關鍵：找鄰近的「完全平方數的算數平方根」作參照。
如：確定的取值範圍。∵＜＜，∴2＜＜3。
6、幾個常見的算數平方根的值：，，，，。
八、補充的二次根式的部分內容
1、二次根式的定義：形如（a≥0）的式子，叫做二次根式。
2、二次根式的性質：(1)（a≥0，b≥0）；(2)（a≥0，b＞0）；
(3)（a≥04)
3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a≥0，b≥0）；（2）除法：（a≥0，b＞0）
§11.2實數與數軸
一、無理數
1、無理數定義：無限不迴圈小數叫做無理數。
2、常見的無理數：
（1）開方開不盡的數。如：，等。
（2）「」類的數。如：，，，，等。
（3）無限不迴圈小數。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等
二、實數
1、實數定義：有理數與無理數統稱為實數。
2、與實數有關的概念：
（1）相反數：實數a的相反數為-a。若實數a、b互為相反數，則a+b=0。
（2）倒數：非零實數a的倒數為（a≠0）。若實數a、b互為倒數，則ab=1。
（3）絕對值：實數a的絕對值為：
3、實數的運算：有理數的所有運算法則及運算律均適用於實數的運算。
4、實數的分類：
（1）按照正負性分為：正實數、零、負實數三類。
（2）按照定義分為：
5、幾個「非負數」：（1）a2≥0；（2）|a|≥0；（3）≥0。
6、實數與數軸上的點是一一對應關係。
第12章整式的乘除
§12.1冪的運算
一、同底數冪的乘法
1、法則：am·an·ap·……=am+n+p+……（m、n、p……均為正整數）
文字：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。
2、注意事項：
（1）a可以是實數，也可以是代數式等。
如： 2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；
()3·()4=()3+4=()7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8
（2）一定要「同底數冪」「相乘」時，才能把指數相加。
（3）如果是二次根式或者整式作為底數時，要新增括號。
二、冪的乘方
1、法則：(am)n=amn（m、n均為正整數）。推廣：｛[(am)n]p｝s=amn p s
文字：冪的乘方，底數不變，指數相乘。
2、注意事項：
（1）a可以是實數，也可以是代數式等。
如：(2)3=2×3=6；[()3]4=()3×4=()12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8
（2）運用時注意符號的變化。
（3）注意該法則的逆應用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3
三、積的乘方
1、法則：(ab)n=anbn（n為正整數）。推廣：(acde)n=an**dnen
文字：積的乘方等於把積的每乙個因式都分別乘方，再把所得的冪相乘。
2、注意事項：
（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。
如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6；
(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2
（2）運用時注意符號的變化。
（3）注意該法則的逆應用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2
四、同底數冪的除法
1、法則：am÷an=am-n（m、n均為正整數，m＞n，a≠0）
文字：同底數冪相除，底數不變，指數相減。
2、注意事項：
（1）a可以是實數，也可以是代數式等。
如： 4÷3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；
()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2
（2）注意a≠0這個條件。
（3）注意該法則的逆應用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3
§12.2 整式的乘法
一、單項式與單項式相乘
法則：單項式與單項式相乘，只要將它們的係數與係數相乘，相同字母的冪相乘，多餘的字母照搬到最後結果中。
如：(-5a2b2)·(-4 b2c)·(-ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c
二、單項式與多項式相乘
法則：（乘法分配律）只要將單項式分別去乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。
如： (-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=
三、多項式與多項式相乘
法則：（1）將乙個多項式中的每一項分別乘以另乙個多項式的每一項，再將所得的積相加。
如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb
(2)把其中乙個多項式看成乙個整體（單項式），去乘以另乙個多項式的每一項，再按照單項式與多項式相乘的法則繼續相乘，最後將所得的積相加。
如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb
§12.3 乘法公式
一、兩數和乘以這兩數的差
1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名稱：平方差公式。
2、注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；
（2）注意公式中的第一項、第二項各自相同，中間是「異號」的情況，才能用平方差公式。
（3）注意公式的**還是「多項式×多項式」。
二、完全平方公式
1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名稱：完全平方公式。
2、注意事項：（1）a、b可以是實數，也可以是代數式等。
如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；
( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b) + 2= a2+2a b+b2-2a-b +2；
（2）注意公式運用時的對位「套用」；
（3）注意公式中「中間的乘積項的符號」。
3、補充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca
特別提醒：利用乘法公式進行整式的運算時注意「思維順序」是：「一看二套三計算」。
§12.4 整式的除法
一、單項式除以單項式
法則：單項式相除，只要將它們的係數與係數相除，相同字母的冪相除，只在被除式中出現的字母，則連同它的指數一起作為商的乙個因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 =8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2
5（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2
二、多項式除以單項式
法則：（乘法分配律）只要將多項式的每一項分別去除以單項式，再將所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)=4y-2x
◇整式的運算順序：先乘方（開方），再乘除，最後加減，括號優先。
§12.5 因式分解
一、因式分解的定義：把乙個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解。（分解因式）
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八年級上冊知識點 第11章數的平方 11.1平方根與立方根 1 平方根的概念 如果乙個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。2 平方根的性質 1.乙個正數有兩個平方根，它們互為相反數。2.0有乙個平方根，就是它本身。3.負數沒有平方根。3 算術平方根 正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作...
八年級數學上冊 知識點總結 北師大版
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