在乙個等式中，只含有乙個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四個特點：(1)只含有乙個未知數；(2)且未知數次數最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷乙個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程．（4）將方程化為一般形式：ax^+bx+c=0時，應滿足（a≠0）
22.2降次——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：
1、直接開平方法：
用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m.直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結果.2、配方法
通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據是完全平方公式。
1.轉化：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.係數化1：將二次項係數化為13.移項：將常數項移到等號右側
4.配方：等號左右兩邊同時加上一次項係數一半的平方5.
變形：將等號左邊的代數式寫成完全平方形式6.開方：
左右同時開平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
22.3實際問題與一元二次方程
列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展
從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由於一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決．如果未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由於未知數是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增長的平均增長率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等
知識點一：二次函式的定義
1．二次函式的定義：
一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式．
其中是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
知識點二：二次函式的圖象與性質[, , ]
2. 二次函式的圖象與性質
（1）二次函式基本形式的圖象與性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小
（2）的圖象與性質：上加下減
（3）的圖象與性質：左加右減
（4）二次函式的圖象與性質
3. 二次函式的影象與性質
（1）當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．
（2）當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點座標為．
當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．
4. 二次函式常見方法指導
（1）二次函式圖象的畫法
①畫精確圖五點繪圖法（列表-描點-連線）
利用配方法將二次函式化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點座標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.
②畫草圖抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，與軸的交點，頂點.
（2）二次函式圖象的平移
平移步驟：
1 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
② 可以由拋物線經過適當的平移得到具體平移方法如下：
平移規律：概括成八個字「左加右減，上加下減」．
（3）用待定係數法求二次函式的解析式
①一般式：.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
②頂點式：.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
③交點式： .已知圖象與軸的交點座標、，通常選擇交點式.
（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法
①公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.
②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.
③運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
（5）拋物線中，的作用
①決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
②和共同決定拋物線對稱軸的位置
由於拋物線的對稱軸是直線，故
如果時，對稱軸為軸；
如果（即、同號）時，對稱軸在軸左側；
如果（即、異號）時，對稱軸在軸右側.
③的大小決定拋物線與軸交點的位置
當時，，所以拋物線與軸有且只有乙個交點（0，），故
如果，拋物線經過原點；
如果,與軸交於正半軸；
如果,與軸交於負半軸.
知識點三：二次函式與一元二次方程的關係
5.函式，當時，得到一元二次方程，那麼一元二次方程的解就是二次函式的圖象與軸交點的橫座標，因此二次函式圖象與軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當二次函式的圖象與軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函式的圖象與軸有且只有乙個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函式的圖象與軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面**可以直觀地觀察到二次函式圖象和一元二次方程的關係：
6.拓展：關於直線與拋物線的交點知識
（1）軸與拋物線得交點為.
（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有乙個交點(,).
（3）拋物線與軸的交點
二次函式的影象與軸的兩個交點的橫座標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與軸相交；
②有乙個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；
③沒有交點拋物線與軸相離.
（4）平行於軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱座標相等，設縱座標為，則橫座標是的兩個實數根.
（5）一次函式的影象與二次函式的影象的交點，由方程組的解的數目來確定：
①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;
②方程組只有一組解時與只有乙個交點；
③方程組無解時與沒有交點.
（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由於、是方程的兩個根，故
知識點四：利用二次函式解決實際問題
7.利用二次函式解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函式問題，利用題中存在的公式、內含的規律等相等關係，建立函式關係式，再利用函式的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變數的取值範圍應具有實際意義.
利用二次函式解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當的平面直角座標系；
(2)把實際問題中的一些資料與點的座標聯絡起來；
(3)用待定係數法求出拋物線的關係式；
(4)利用二次函式的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
新人教版九年級上二次函式知識點總結與練習
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