數學必修1各章知識點總結
第一章集合與函式概念
一、集合
（一）集合有關概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性
3.集合的表示： （1）常用數集及其記法 （2）列舉法 （3）描述法
4、集合的分類：有限集、無限集、空集
5. 常見集合的符號表示：
（二）集合間的基本關係
1.子集、真子集、空集； 2.有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集；
3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（三）集合的運算
二、函式
（一）函式的有關概念
1.函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：
a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作： y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域.
2.常用的函式表示法及各自的優點：
解析法：必須註明函式的定義域；
圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵；
列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
優點：解析法：便於算出函式值.列表法：便於查出函式值.圖象法：便於量出函式值.
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1；
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的，那麼它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；
(6)指數為零底不可以等於零；
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函式的判斷方法：(以下兩點必須同時具備)
(1)表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；(2)定義域一致.
求函式值域方法 :（先考慮其定義域）
（1）函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域.
(2)應熟練掌握一次函式、二次函式、指數函式、對數函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎.
(3)求函式值域的常用方法有：直接法、換元法、配方法、分離常數法、判別式法、單調性法等.
2. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 .
函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據.
(2) 畫法:描點法;圖象變換法
常用變換方法有三種:平移變換;對稱變換；*伸縮變換.
3．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
4．對映
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映.記作「f（對應關係）：
a（原象集）b（象集）」
對於對映f：a→b來說，則應滿足：
(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象.
5.分段函式
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式；
(2)各部分的自變數的取值情況；
(3)分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．
（二）函式的性質
1.函式的單調性(區域性性質)
（1）定義
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1定義的變形應用：如果對任意的，且有或者，則函式在區間d上是增函式；如果對任意的，且有或者，則函式在區間d上是減函式.
注意：函式的單調性是函式的區域性性質.
（2）圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3)函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
2．函式的奇偶性（整體性質）
（1）偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式．
（2）奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式．
（3）具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；
確定f(－x)與f(x)的關係；
作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式．
注意：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函式的圖象判定 .
3.函式的解析表示式
（1）函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）求函式的解析式的主要方法有：
湊配法； 待定係數法；換元法；消參法.
如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法；已知復合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍；當已知表示式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
4．函式最大（小）值
（1）利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值；
（2）利用圖象求函式的最大（小）值；
（3）利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b).
第二章基本初等函式
一、指數函式
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根，其中》1，且∈*．
◆ 負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作.
當是奇數時，，當是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
， ◆ 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
3．實數指數冪的運算性質
（1）；（2）；（3）．
（二）指數函式及其性質
1．指數函式的概念：
一般地，函式叫做指數函式，其中x是自變數，函式的定義域為r．
注意：指數函式的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1．
2．指數函式的圖象和性質
利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是（a>1）或
(0二、對數函式
（一）對數的概念：
一般地，如果，那麼數叫做以為底的對數，
記作：（— 底數，— 真數，— 對數式）
說明： 注意底數的限制，且； .
兩個重要對數：
常用對數：以10為底的對數；
自然對數：以無理數為底的對數的對數．
◆ 指數式與對數式的互化
冪值真數
＝ n＝ b
底數指數對數
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