五----萬有引力定律
複習要點
1．萬有引力定律及其應用
2．人造地球衛星
3．宇宙速度
4．天體的圓運動分析
二、難點剖析
1．克卜勒行星運動三定律簡介
第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的乙個焦點上；
第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等；
第三定律：行星軌道半長軸的立方與其週期的平方成正比，即
=k克卜勒行星運動的定律是在丹麥天文學家弟答的大量觀測資料的基礎上概括出的，給出了行星運動的規律。
2．萬有引力定律及其應用
(1)定律的表述：宇宙間的一切物體都是相互吸引的兩個物體間的引力大小跟它們的質量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。
f=(2)定律的適用條件：用於計算引力大小的萬有引力公式一般只適用於兩質點間引力大小的計算，如果相互吸引的雙方是標準的均勻球體，則可將其視為質量集中於球心的質點。
(3)定律的應用：在中學物理範圍內，萬有引力定律一般用於天體在圓周運動中的動力學問題或運動學問題的分析，當天體繞著某中心天體做圓周運動時，中心天體對該天體的引力充當其做周圍運動所需的向心力，據此即可列出方程定量的分析。
3．人造地球衛星各運動參量隨軌道半徑的變化關係。
這裡特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛星，實際上大多數衛星軌道是橢圓，而中學階段對做橢圓運動的衛星一般不作定量分析。
由於衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力，於是有
=m =m
=mrw2
=mr由此可知：繞地球做勻速圓周運動的衛星各個參量隨軌道半徑r的變化情況分別如下：
(1)向心加速度與r的平方成反比.
=當r取其最小值時，取得最大值.
a向max==g=9.8m/s2
(2)線速度v與r的平方根成反比
v=當r取其最小值地球半徑r時，v取得最大值.
vmax===7.9km/s
(3)角速度與r的三分之三次方成百比
=當r取其最小值地球半徑r時，取得最大值.
max==≈1.23×10－3rad/s
(4)週期t與r的二分之三次方成正比.
t=2當r取其最小值地球半徑r時，t取得最小值.
tmin=2=2≈84 min
4．宇宙速度及其意義.
(1)三個宇宙速度的值分別為
v1=7.9 km/s
v2=11.2 km/s
v3=16.9 km/s
(2)宇宙速度的意義
當發射速度v與宇宙速度分別有如下關係時，被發射物體的運動情況將有所不同
①當v＜v1時，被發射物體最終仍將落回地面；
②當v1≤v＜v2時，被發射物體將環境地球運動，成為地球衛星；
③當v2≤v＜v3時，被發射物體將脫離地球束縛，成為環繞太陽運動的「人造行星」；
④當v≥v3時，被發射物體將從太陽系中逃逸。
5．同步衛星的兩個特徵
(1)軌道平面必與赤道平面重合；
(2)高度為確定的值。
6．地球自轉對地表物體重力的影響。
如圖所示，在緯度為的地表處，物體所受的萬有引力為
f=而物體隨地球一起繞地軸自轉所常的向心力為
f向=mrcos·w2
方向垂直於地軸指向地軸，這是物體所受到的萬有引力的乙個分力充當的，而萬有引力的另乙個分力就是通常所說的重力mg，嚴格地說：除了在地球的兩個極點處，地球表面處的物體所受的重力並不等於萬有引力，而只是萬有引力的乙個分力。
由於地球自轉緩慢，所以大量的近似計算中忽略了自轉的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等於其重力，即
≈mg這是乙個分析天體圓運動問題時的重要的輔助公式。
三、典型例題
例1．某人造地球衛星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變，每次
測量中衛星的運動可近似看作圓周運動。某次測量衛星的軌道半徑為r1，後來變為r2，
r2＜r1，以ek1、ek2表示衛星在這兩個軌道上的動能，t1、t2表示衛星在這兩個軌道
上繞地運動的週期，則
a．ek2＜ek1，t2＜t1b．ek2＜ek1，t2＞t1
c．ek2＞ek1，t2＜t1d．ek2＞ek1，t2＞t1
分析：常會有同學因為考慮到有阻力作用，就簡單地判斷動能將減小，其實這樣的分析
是不周密的，結論也是錯誤的，因為有阻力作用的同時，半經減小，引力將做正功。
解答：由於引力充當向心力，所以有
==mr
於是可得動能和週期分別為：
ek=mv2=
t=2可見：當阻力作用使軌道半徑從r1減小為r2時，其動能將從ek1增大為ek2，週期將從t1減小為t2，即ek2＞ek1，t2＜t1，應選c.
例2．地核體積約為地球體積的16%，地球質量約為地球質量的34%，引力常量取g=6.7×10－11nm2/kg2，地球半徑取r=6.4×106m，地球表面重力加速度取g=9.
8m/s2，試估算地核的平均密度(結果取2位有效數字)。
分析：利用gm表示式進行估算
解答：地表處物體所受引力約等於重力，於是有
=mg地球的平均密度為
==由此可得
kg/m3
5.5×103kg/m3
地核的平均密度為
1.2×104kg/m3
例3．在天體運動中，將兩顆彼此距離較近，且相互繞行的行星稱為雙星。已知兩行星質量分別為m1和m2，它們之間距離為l，求各自運轉半徑和角速度為多少？
分析：在本題中，雙星之間有相互吸引力而保持距離不變，則這兩行星一定繞著兩物體連線上某點做勻速圓周運動，設該點為o，如圖所示，m1om2始終在一直線上，m1和m2的角速度相等，其間的引力充當向心力
解答：引力大小為
f=引力提供雙星做圓周運動的向心力
f=m1r1w2
m2r2w2
而 r1+r2=l
由此即可求得
r1=r2=例4．已知地球與月球質量比為8：1，半徑之比為3.8：1，在地球表面上發射衛星，至少需要7.9km/s的速度，求在月球上發現一顆環繞月球表面執行的飛行物需要多大的速度？
分析：地球上衛星需要的向心力來自地球的引力，月球上的飛行物需要的向心力是月球對它的引力.
解答：；發射環繞地球表面執行的飛行物時，有
=m發射環繞月球表面執行的飛行物時，只有
= m由此即可得：
v月=·v地=×7.9×103m/s
=1.71×103m/s
例5．宇宙飛船以a=g=5m/s2的加速度勻速上公升，由於超重現象，用彈簧秤測得質量為10kg的物體重量為75n，由此可求飛船所處位置距地面高度為多少？(地球半徑r=6400km)
分析：質量10kg的物體在地面處重力大小約100n，而彈簧秤示數f=75n，顯然飛船所在處物體所受到的重力mg1應小於f.
解答：由牛頓第二定律，得
f－mg1=ma
而 =mg
=mg1
由此即可解得
h=r=6.4×106m
例6．閱讀下列材料，並結合材料解題
克卜勒從2023年——2023年發表了著名的克卜勒行星三定律：
第一定律：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽運動，太陽在這個橢圓的乙個焦點上
第二定律：太陽和行星的連線在相等的時間內掃過相等的面積
第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉週期的平方的比值都相等
實踐證明，克卜勒三定律也適用於人造地球衛星的運動，如果人造地球衛星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運動，當開動制動發動機後，衛量速度降低並轉移到與地球相切的橢圓軌道，如圖問在這之後，衛星經過多長時間著陸？空氣阻力不計，
地球半徑為r，地球表面重力加速度為g，
圓形軌道作為橢圓軌道的一種特殊形式。
分析：此題所求實質是星體做橢圓運動的週期，
僅憑中學物理知識難以解決，但再利用題中資訊所示原理，則可方便求解。
解答：提供的資訊中有如下幾條對解題有用
(1)開氏第一定律
(2)開氏第二定律
(3)開氏第三定律 a3/t2=常量
(4)開氏第三定律適用於人造衛量
(5)圓軌道是橢圓軌道的特例，半長軸與半短軸等長，均為半徑。
於是由開氏第三定律可得=其中
a= (r+r)
另外又有
=mr =mg
考慮到橢圓軌道的對稱性，考慮到開氏第二定律，不難得
t=t於是解得t=
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