第八講交流電的基本概念正弦量的相量表示
時間：2學時
重點和難點：正弦量的三要素、有效值、向量表示。
目的：讓學生掌握交流電路的概念，掌握正弦交流量的三要素（週期、幅值、初相位），掌握正弦交流量有效值的概念以及其使用意義，掌握正弦量的向量表示方法，掌握向量圖的畫法，掌握旋轉向量的概念和意義，複習複數運算的方法和幾何意義。
教學方法：多**演示、課堂講授
主要教學內容：
一、正弦量的基本概念
1、正弦量：
大小隨時間按一定規律作週期性變化且在乙個週期內平均值為零的電壓、電流稱為交流電。隨時間按正弦規律變化的電壓、電流通稱為正弦電量，或稱為正弦交流電，
圖常見的交流電波形
2、正弦量的三要素：
1）正弦量的波形圖
1）正弦電流的瞬時值表示式
正弦電量在任意瞬間的值稱為瞬時值，用小寫字母來表示，如用分別來表示正弦電流、正弦電壓和正弦電動勢的瞬時值。利用瞬時值表示式可以計算出任意時刻正弦電量的數值。瞬時值的正或負與假定的參考方向比較，便可確定該時刻電量的真實方向。
3）正弦量的波形圖和正弦電流的瞬時值表示式表明：
乙個正弦電量的特徵表現在它變化的最大值（）、隨時間變化的快慢（）和起始值（t=0時的數值，它取決於t=0時的角度）三個數值。若將這三個數值代入已選定的sin函式式中就完全確定了這個正弦量。
4)相關物理量：
a、振幅值
正弦量是乙個等幅振盪、正負交替變化的週期函式，振幅值是正弦量在整個振盪過程中達到的最大值，又稱峰值。通常用大寫字母加下標m來表示。振幅值表示正弦量瞬時值變化的範圍或幅度。
b、週期和頻率
正弦量變化一周所需的時間稱為週期。通常用t表示，單位為秒(s)。實用單位中還有毫秒(ms)、微秒(μs)、納秒(ns)。
正弦量一秒內重複變化的次數稱為頻率，用f表示，其單位為赫茲(hz)。週期和頻率兩者的關係為
週期和頻率表示正弦量變化的快慢程度。週期越短，頻率越高，變化越快。
正弦量變化的快慢程度除用週期和頻率表示外，還可用角頻率ω表示，單位為。因為乙個週期經歷了2π弧度，所以ω、t、f之間的關係為
c、相位和初相
正弦電量在任意瞬間的變化狀態是由該瞬間的電角度（）決定的。把正弦電量在任意瞬間的電角度稱為相位角，簡稱相位。相位反映了正弦量的每一瞬間的狀態或隨時間變化的程序。
相位的單位一般為弧度(rad)。
θ是正弦量在t=0時刻的相位，稱其為正弦量的初相位（角），簡稱初相。初相反映了正弦量在計時起點處的狀態（初始狀態），由它確定正弦量的初始值。正弦量的初相與計時起點(即波形圖上的座標原點)的選擇有關，且在t=0時，函式值的正負與對應θ的正負號相同。
5）正弦量的三要素：
當正弦量的振幅、角頻率、初相確定時，這個正弦量就唯一地確定了。故將振幅、角頻率ω(或f、t)、初相θ稱為正弦量的三要素。
3、正弦量的相位差：
1）正弦電量的相位差
對於兩個同頻率的正弦電量而言，雖然都隨時間按正弦規律變化，但是它們隨時間變化的程序可能不同。為了描述同頻率正弦量隨時間變化程序的先後，引入了相位差。這裡所述的相位差就是兩個同頻率的正弦量的相位之差，用或帶雙下標表示。
設兩個同頻率的正弦量
之間的相位差為
可見，兩個同頻率正弦電量的相位差，等於它們的初相之差。
2）正弦電量的相位差的幾種情況：
同頻率正弦量初相相同（即相位差為零）時稱之為同相，如圖 (a)所示的u和i。
如果兩個正弦量到達某一確定狀態（如最大值）的先後次序不同，則稱先到達者為超前，後到達者為滯後，如圖 (b)所示的u1和u2。當θ1>θ2，則稱電壓u1超前電壓u2，或者說電壓u2滯後電壓u1 。
如果兩個正弦量的相位差為π(180°)，稱之為反相，如圖 (c)所示的電流i1和電流i2。同一正弦量，相反參考方向下的iab和iba反相。
如果兩個正弦量的相位差為π/2(90°)，稱之為正交，如圖 (d)所示的u和i。
圖 5－4 相位差的幾種情況
3）說明：
在正弦電路的分析計算中，為了比較同一電路中同頻率的各正弦量之間的相位關係，可選其中乙個為參考正弦量，取其初相為零，這樣其它正弦量的初相便由它們與參考正弦量之間的相位差來確定。各正弦量必須以同一時刻為計時起點才能比較相位差，故乙個電路中只能有乙個參考正弦量，究竟選哪乙個則是任意的。
4、正弦量的有效值：
正弦波是一種週期波，對週期波我們可以用有效值來表徵它的大小。正弦電量的有效值是按電流的熱效應來確定的，它根據熱效應相等原理，把正弦電量換算成直流電的數值，即正弦電量的有效值是熱效應與它相等的直流電量的數值。當正弦電流i和直流電流i分別流過阻值相等的電阻時，如果在正弦電流的乙個週期內它們所產生的熱量相等，即這一直流電流的數值就稱為正弦電流的有效值。
正弦電量的有效值用大寫字母表示。
設有兩個相同的電阻r，分別通以週期電流i和直流電流i。當週期電流i流過電阻r時，該電阻在乙個週期t內所消耗的電能為
當直流電流i流過電阻r時，在相同的時間t內所消耗的電能為
根據正弦電量有效值的概念，如令以上兩式相等，亦即
由上式可得有效值的定義式為
5－4）
由式（5－4）所示的有效值定義可知：週期電流的有效等於它的瞬時值的平方在乙個週期內積分的平均值再取平方根，因此，有效值又稱為方均根值。
類似地，可得週期電壓ｕ的有效值
5－5）
若正弦電流，則根據式（5－4）可得正弦電流有效值與最大值之間的關係為
類似地，可得
5－6）
由此可見，正弦波的有效值為其振幅的倍。有效值可代替振幅作為正弦量的乙個要素。
二、正弦量的相量表示
正弦電量的瞬時值表示式和波形圖雖然能夠表示正弦量的三要素，說明正弦電量隨時間變化的規律，但是在正弦電路的分析計算中，經常需要將幾個同頻率的正弦量進行代數運算和積分、微分運算，用這兩種表示方法運算十分煩瑣、很不方便，因此有必要尋找出一種能夠表示正弦量卻又便於分析運算的表示方法。所以，用複數表示正弦電量，並由此得出正弦電量的相量表示方法，從而使正弦交流電路的分析和計算得到簡化。
1、複數知識：
1）複數及其表示形式
乙個複數是由實部和虛部組成的。複數有多種表達形式，常見的有代數形式、指數形式、三角函式形式和極座標形式。
設a為一複數，其實部和虛部分別為a和b，則複數ａ可用代數形式表示為
複數也可以用由實軸與虛軸組成的復平面上的有向線段來表示。用直角座標的橫軸表示實軸，以＋1為單位；縱軸表示虛軸，以＋j為單位。實軸和虛軸構成復座標平面，簡稱復平面。
在復平面上覆數是乙個點，它又可用有向線段來表示，如圖中的有向線段oa所示。
圖複數的相量表示
複數還可以用三角形式、極座標形式表示。根據圖5－5，可得複數的三角形式為
式中r為複數的模（值），為複數的幅角，可以用弧度或度來表示。r和與a 和b之間的關係為
；根據尤拉公式
複數的三角形式可轉變為指數形式，即
上述指數形式有時改寫為極座標形式，即
綜上分析可知，複數的四種形式通過以上公式是可以相互轉化的。
2）複數的運算
a、加減法若則
複數的相加和相減的運算也可以按平行四邊形法在復平面上用向量的相加和相減求得，見圖。
圖複數代數和的**法
b、乘除法
設兩個複數
則或可見，兩個複數相乘時，其模相乘，幅角相加。
或可見，兩個複數相除時，其模相除，幅角相減。
圖（a）、（b）為複數乘、除的**表示，從圖上可以看出：複數乘、除表示為模的放大或縮小，幅角表示為逆時針旋轉或順時針旋轉。
（ab)
圖複數乘、除的**示意
例1 已知複數和，試計算。
解：採用指數形式計算
先將代數形式化為指數形式，即
或採用極座標形式計算
先將代數形式化為極座標形式，即
則2、正弦量的相量表示法：
正弦量的相量表示法，就是用複數形式來表示正弦量的有效值和初相位，使正弦交流電路的分析和計算轉化為複數運算的一種方法。這種方法使得正弦交流電路的分析計算相當簡便。**性正弦交流電路中，所有電壓、電流都是同頻率的正弦量。
所以，要確定這些正弦量，只要確定它們的有效值和初相位就可以了。
設某正弦電流為： 其對應的相量表示為
而式中是乙個與時間無關的復常數，其模是正弦量的有效值，輻角是正弦量的初相，二者是正弦量三要素的兩個要素。當角頻率ω給定時，它們就完全確定了乙個正弦量。由於在正弦電路中，所有電流、電壓都是同頻率的正弦量，頻率常是已知的,便是乙個足以表示正弦電流的複數。
像這樣乙個能表示正弦量有效值及初相的複數就叫做正弦量的相量。
相量是乙個複數，它表示乙個正弦量，所以在符號字母上加上一點，以與一般複數相區別。特別注意，相量只能表徵或代表正弦量而並不等於正弦量。二者不能用等號表示相等的關係，這一關係可用雙箭頭「」符號來表明，亦即，若
3、、正弦量的相量圖：
相量作為乙個複數，也可以在復平面上用有向線段表示，如圖所示。相量在復平面上的圖示稱為相量圖。
圖電壓相量圖
相量與的乘積則是時間ｔ的復值函式，在復平面上可用恆定角速度ω逆時針方向旋轉的相量表示。這是因為這一乘積的幅角為，它不是常量而是隨時間的增長而增長的，如果相量的模按它所表示的正弦量的振幅取值，例如uｍ，則該相量旋轉時，在虛軸上的投影為，亦即為該正弦電壓的瞬時值，如圖所示。
交流電的基本概念
一 正弦交流電的產生 正弦交流電是由交流發電機產生的，最簡單的交流發電機示意圖如下圖所示 由於電樞表面的磁感應強度是按正弦規律分布的，所以產生的感應電動勢也是按正弦規律變化的。即 e emsin 如線圈經電刷與外電路的負載接通，形成閉合迴路，所以外電路中也就產生了相應的正弦電壓和正弦電流，表示如下 ...
交流電的基本概念
本節概述 一 靜電 直流電 交流電 二 交流電的基本知識 1 交流電的概念 2 交流電的分類 3 交流電的經濟意義 4 交流電的優點 三 正弦交流電的基本知識 1 正弦交流電的概念 2 正弦交流電的表示方法 3 正弦交流電的三要素 一 靜電 直流電 交流電 靜電 是一種靜止不動的電，就好像把水放在一...
正弦交流電的基本概念
正弦交流電的解析式和瞬時值表示式 正弦量的瞬時值 最大值 有效值 平均值 瞬時值用小寫字母表示 最大值用符號表示 有效值用大寫字母表示 平均值用符號表示 有效值與最大值的關係 有效值與平均值的關係 正弦量的週期 頻率和角頻率 週期用小寫字母表示，單位 頻率用符號表示，單位 角頻率用符號表示，單位 週...