考點23 線性規劃
【考點分類】
熱點一求目標函式的最值
2.【2023年普通高等學校統一考試試題新課標ⅱ數學（理）卷】已知a＞0，x，y滿足約束條件,若z=2x+y的最小值為1，則a=( )
(abc)1d)2
3.(2023年高考山東卷理科)設變數滿足約束條件，則目標函式z=3x-y的取值範圍是（ ）
（a） （b）
（c）[-1,6d）
4.【2023年普通高等學校招生全國統一考試數學浙江理】設，其中實數滿足，若的最大值為12，則實數________.
5.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（陝西卷）】若點(x, y)位於曲線與y＝2所圍成的封閉區域, 則2x－y的最小值為
6.(2023年高考全國卷)若滿足約束條件，則的最小值為
7.（2023年高考新課標全國卷）已知正三角形abc的頂點a(1,1)，b(1,3)，頂點c在第一象限，若點（x，y）在△abc內部，則z=－x+y的取值範圍是( )
（a）(1－，2) （b）(0，2) （c）(－1，2) （d）(0，1+)
【方法總結】
1．最優解問題
如果可行域是乙個多邊形，那麼目標函式一般在某頂點處取得最大值或最小值，最優解就是該點的座標，到底哪個頂點為最優解，只要將目標函式的直線平行移動，最先通過或最後通過的頂點便是．特別地，當表示線性目標函式的直線與可行域的某條邊平行時(k＝k1)，其最優解可能有無數個．
2．整數解問題
若實際問題要求的最優解是整數解，而我們利用**法得到的解為非整數解(近似解)，這時應作適當的調整，其方法是**性目標函式的直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，也可以在用**法所得到的近似解附近尋找．
熱點二與其它知識交匯
8.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（山東卷）】在平面直角座標系中，為不等式組，所表示的區域上一動點，則直線斜率的最小值為（ ）
a. bc. d.
9.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）】設關於x,y的不等式組表示的平面區域內存在點p(x0，y0)滿足x0－2y0=2，求得m的取值範圍是( )
a. b. c. d.
10.【2023年普通高等學校統一考試江蘇數學試題】拋物線在處的切線與兩座標軸圍成的三角形區域為（包含三角形內部和邊界）.若點是區域內任意一點，則的取值範圍是
.11.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）】給定區域:,令點集
是在上取得最大值或最小值的點,
則中的點共確定______條不同的直線.
12.(2023年高考福建卷理科9)若直線上存在點滿足約束條件，則實數
的最大值為（ ）
a． b．1 c． d．2
13.【2023年普通高等學校統一考試試題大綱全國理科】記不等式組，所表示的平面區域為d.若直線與d有公共點，則a的取值範圍是 .
14.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）】設為不等式組表示的平面區域，區域上的點與點之間的距離的最小值為_ _.
15.(2023年高考上海卷)滿足約束條件的目標函式的最小值是 .
【方法總結】常見的目標函式有:
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求這類目標函式的最值常將函式z＝ax＋by轉化為直線的斜截式： y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．
(2)距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
注意轉化的等價性及幾何意義.
熱點三實際應用
16.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）】某旅行社租用、兩種型號的客車
安排900名客人旅行，、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400
元/輛，旅行社要求租車總數不超過21輛，且型車不多於型車7輛．則租金最少為（ ）
a．31200元b．36000元c．36800元d．38400元
17.(2023年高考江西卷理科8)某農戶計畫種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表
為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那麼黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（ ）
a．50，0 b．30，20 c．20，30 d．0，50
18.(2023年高考四川卷理科9)某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克。
每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。公司在生產這兩種產品的計畫中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計畫，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）
a、1800元b、2400元c、2800元d、3100元
19.【2023年普通高等學校招生全國統一考試湖北卷理科】假設每天從甲地去乙地的旅客人數是服從正態分佈的隨機變數. 記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為.
（ⅰ）求的值；（參考資料：若～，有，，.）
（ⅱ）某客運公司用、兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次. 、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛. 公司擬組建乙個不超過21輛車的客運車隊，並要求型車不多於型車7輛.
若每天要以不小於的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那麼應配備型車、型車各多少輛?
【方法總結】解答線性規劃應用題的一般步驟可歸納為：
(1)審題——仔細閱讀，明確有哪些限制條件，目標函式是什麼？
(2)轉化——設元．寫出約束條件和目標函式;
(3)求解——關鍵是明確目標函式所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關係；
(4)作答——就應用題提出的問題作出回答．
體現考綱中要求會從實際問題中抽象出二元線性規劃.來年需要注意簡單的線性規劃求最值問題.
【考點剖析】
一．明確要求
1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組．
3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決.
二．命題方向
1.求二元一次不等式(組)表示的平面區域的面積、求目標函式的最值及簡單的線性規劃實際應用問題是命題的熱點．
2.題型多為選擇、填空題，著重考查平面區域的畫法及目標函式最值問題，注重考查等價轉化、數形結合思想.
三．規律總結
一種方法
確定二元一次不等式表示的平面區域時，經常採用「直線定界，特殊點定域」的方法．
(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線．
(2)特殊點定域，即在直線ax＋by＋c＝0的某一側取乙個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側，否則就表示直線的另一側．特別地，當c≠0時，常把原點作為測試點；當c＝0時，常選點(1,0)或者(0,1)作為測試點．
乙個步驟
利用線性規劃求最值，一般用**法求解，其步驟是：
(1)在平面直角座標系內作出可行域；
(2)考慮目標函式的幾何意義，將目標函式進行變形；
(3)確定最優解：在可行域內平行移動目標函式變形後的直線，從而確定最優解；
(4)求最值：將最優解代入目標函式即可求出最大值或最小值．
兩個防範
(1)畫出平面區域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化．
(2)求二元一次函式z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函式z＝ax＋by轉化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值．要注意：當b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當b＜0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值．
【考點模擬】
一．紮實基礎
2. 【2013安徽省省級示範性高中名校高三聯考】已知實數x,y滿足，若目標函式的最小值為-2，則實數m的值為（ ）
a．5 b．6 c．7 d．8
3. 【河北省唐山市2013屆高三第二次模擬考試】設變數x,y滿足約束條件，則目標函式z=x2+y2的取值範圍是（ ）
a （） b （） cd（）
4. 【安徽省黃山市2013屆高中畢業班第一次質量檢測】
設為座標原點，，若滿足，則的最大值為( )
a．4b．6c．8d．10
5. 【山東省泰安市2013屆高三上學期期末考試】不等式組所表示的平面區域的面積為( )
a.1 b. c. d.
6. 【 2013安徽省省級示範高中名校高三聯考】設d是不等式組表示的平面區域，則d中的點p（x,y）到直線＝1距離的最小值是（ ）
a、 b、 c、 d、
7. 【安徽省黃山市2013屆高中畢業班第一次質量檢測】已知z=2x +y，x，y滿足且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是
8. 【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯合模擬考試】設滿足約束條件，則目標
函式的最大值為
9. 【山東省濱州市2013屆高三第一次模擬】設實數，滿足約束條件，
則目標函式的最大值為
10. 【安徽省馬鞍山市2013屆高三第三次教學質量檢測】設平面區域是由雙曲線的
兩條漸近線和拋物線的準線所圍成的三角形（含邊界與內部）．若點，則
目標函式的最大值為 ．
二．能力拔高
11. 【湖北省黃岡市黃岡中學2013屆高三下學期6月適應性考試】當實數滿足不等式時，
恒有成立，則實數的取值集合是（ ）
abcd．
高考數學真題分類解析總複習考點22簡單的線性規劃
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