1．梳理高中數學課程中「函式」的結構脈絡，並進行"函式"概念教學片段設計。
答：「函式」的結構脈絡：
函式是數學的乙個中心概念，是數學裡不可缺少的一部分，體會變數的依賴關係，會用對映來刻畫函式，能結合函式圖形來解決問題。中學階段強化對函式圖形的認識，函式圖形是乙個整體認識，給定乙個函式圖形就等於給了乙個函式，相同函式以為著函式圖形應該是重合的。有很多知識是和函式密切聯絡的，比如在考慮不等式的時候，在討論方程的時候，在討論計算的時候，演算法裡的賦值變數，在概率隨機變數，線性規劃這個多元函式等等，中學裡涉及到的幾乎都離不開函式，都和函式緊密相關。
所以要特別強調對函式性質的研究，對函式應用的研究，討論函式定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性、對稱性等等。微積分裡我們開始用導數方法再來研究函式本身的變化和性質和應用。用函式來研究數學內部的問題，比如處理一些函式極值問題，二分法解方程問題，解不等式問題等。
在數學建模裡，函式的應用被放在乙個非常突出的地位，函式作為乙個模型，一種思想被凸顯出來了。一批模型被放到了學生的腦子裡，這批模型包括一次函式，二次函式，反比例函式，指數函式，對數函式，冪函式，三角函式，分段函式等等。研究函式的基本方法有兩種，一種是代數法，通過運算來探索函式的性質和應用，這運算包括數的運算、多項式的運算、指數運算、對數運算、三角運算，它在我們研究函式中都會發揮作用，這是一種基本的方法，也是學生必須認真掌握的方法。
另外一種方法就是我們通常所說的微積分的方法，利用變化率來認識函式的變化，這是乙個新的角度，也是牛頓微積分乙個核心的內容。用函式解決其他學科和日常生活中的問題，把實際問題轉變成數學函式模型，然後應用函式知識來解決問題，所以要求學生具備用函式的語言去描述實際問題的能力。
"函式"概念教學片段設計一
教學目標：
1．通過豐富例項，體會函式是描述變數之間依賴關係的重要數學模型，使學生正確理解函式概念，能用集合與對應的語言來刻畫函式，了解構成函式的三要素，初步形成學生利用函式的觀點認識現實世界的意識和能力。
2．通過從實際問題中抽象概括函式概念的活動，培養學生的抽象概括能力。
教學重點：體會函式是描述變數之間的依賴關係的重要數學模型，正確理解函式的概念。
教學難點：函式概念及符號的理解。
3．教學方法：啟發**式
4．教學過程：
一、創設情境，觀察發現
情景一：拍皮球遊戲
遊戲規則：乙個同學拍皮球並大聲數數，另乙個同學按**中的時間報時，其餘同學記下報球時的個數。遊戲結束後填寫上圖中的**。
思考1：**中有哪幾個變數？
思考2：當給定其中乙個變數的值時，能確定另乙個變數的值嗎？
點評：在這個變化過程中有兩個變數和，當給定其中乙個變數的值就相應的確定了另乙個變數的值。通過拍皮球遊戲，讓學生先參與活動，再利用**讓學生體會用**刻畫兩個變數之間的對應關係。
情景二：圖1的蘭色曲線記錄的是2023年2月20日自上午9：30至下午3：00上海**交易所的**指數的情況．**指數是時間的函式嗎？
圖1思考：你能從圖中看出哪乙個時刻**指數最大嗎？哪乙個時刻**指數最小嗎？其中時間的取值範圍是多少？
點評：老師引導學生看圖，並啟發：在的變化範圍內，任給乙個，按照給定的圖象，都有唯一的一**票指數與之相對應。讓學生體會用圖象刻畫變數之間的對應關係，關注時間和**指數的範圍。
情景三：某種型號的汽車緊急剎車後仍將滑行公尺，一般有經驗公式，其中表示剎車前汽車的速度（單位：千公尺/時）
思考：（１）在公式中有哪幾個變數
（２）計算當分別為50，60，100時，相應的滑行距離是多少？
（３）給定乙個值，你能求出相應的值嗎？
點評：在這個變化過程中，有兩個變數和，如果給定乙個的值，相應的也就確定了的值。本例主要通過關係式體會兩個變數之間的關係。
為了幫助學生形成積極的學習態度，促進學生發展，在函式概念的教學設計中主要突出了以幾點：
（１）通過生生互動，師生互動，調動了學生的求知慾望和學習興趣。體會在解決問題時與他人合作的重要性。
（２）分別以影象、**、代數表示式三種形式呈現了三個生活化的場景，引導學生自主探索，滿足了學生多樣化的學習需求。
（３）從生活中的函式原型出發，讓學生明白了數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的。加強了數學與現實的聯絡，讓學生體會數學的廣泛應用性。
二.概念形成：
思考1：分析、歸納以上三個例項，想想變數之間的關係有什麼共同點？
生：三個例項中變數之間的關係都可以描述為：對於數集中的每乙個，按照某種對應關係，在數集中都有唯一確定的和它對應，記作：
思考2：前面我們學習了「集合」，你能用「集合」以及對應的語言刻畫函式概念嗎？
設計意圖：引導學生把初中學習過的函式概念與高一剛學習的過的集合知識聯絡起來，用集合的觀點解釋過去的概念，獲得對函式概念的新認識．
獲得新的函式定義方式：
設a，b是兩個非空數集．如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中有唯一確定的數f（x）和它對應，那麼就稱f：a→b為集合a到集合b的乙個函式，記作y＝f（x），x∈a
其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．值域是集合的子集。若c＝，則cb．
師生共同就每乙個例子，找出集合a，b分別是什麼，對應關係f指什麼？突出「三要素」．
思考3：在這個定義中，你認為哪些是關鍵詞？怎樣理解這個概念呢？
設計意圖：促使學生抓住概念中的關鍵詞，多方面理解概念，抓住本質．同時，指出函式的三要素為定義域、對應關係、值域．由於對於乙個函式，當定義域確定、對應關係確定後，值域也隨之確定，因此，兩個函式相等的條件是定義域以及對應關係相同．
三、概念辨析：
下列圖象中不能作為函式的圖象的是（ ）
（a） （b） （cd）
設計意圖：通過這到題可以了解學生對函式概念的掌握情況．突出「兩個變數x，y」，對於變數x的「每乙個」確定的值，另乙個變數y有「唯一」確定的值與x對應。
2. 梳理高中數學課程中「幾何」的結構脈絡，並設計一道立體幾何或解析幾何的應用題以評價學生建模及綜合應用知識解決問題的能力。（注意：題目必須是自編或改編）
答：「幾何」的結構脈絡
幾何課程的設計由兩部分組成，第一部分是知識部分；第二部分是能力部分，這個能力體現在空間的想象力，或者叫幾何直觀能力，或者叫數形結合能力。這兩部分都是貫穿在我們整個高中課程中的基本的東西。
知識部分分三大塊，一塊是立體幾何，一塊是解析幾何，一塊是向量，這是支撐幾何課程的三個基點，對向量要有乙個完整的認識，向量有兩個稱號，乙個叫向量代數，就是我們在代數裡講的；乙個叫向量幾何，所以向量是乙個獨特的數學研究物件。
首先， 立體幾何部分，整個課程分成兩塊，一塊叫立體幾何初步，一塊叫空間向量與立體幾何，支撐空間向量幾何的內容除了立體幾何初步之外，還有平面向量 。立體幾何初步的定位是什麼？ ---它是要培養學生的空間想象力為主的乙個課程載體。
通過這樣一些內容，來支撐這樣的乙個載體，第一部分就是要對空間圖形有乙個了解，盡而我們要會畫空間圖形的直觀圖，在此基礎上我們要建立三檢視的概念，這個是在義務教育基礎上的乙個深化，在三檢視中我們要關注什麼問題，我想將來我們再細化，那麼緊接著，我們需要幫助學習建立的是點、線、面的位置關係，這是必修課程的基本的東西，當然還有一些，體積面積的計算，這個不是重點。
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數學建模第二次作業 3
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