一、實驗目的：
1、熟悉拉普拉斯變換的物理意義及基本性質。
2、掌握用拉普拉斯變換求解連續時間lti系統的時域響應的方法。
3、掌握系統函式的概念，掌握系統函式的零、極點分布（零、極點圖）與系統的穩定性、時域特性等之間的相互關係。
4、掌握用matlab語言對系統進行變換域分析的程式設計方法。
5、掌握用matlab求解拉普拉斯反變換的方法。
二、實驗原理：
1、連續時間lti系統的復頻域描述
除了時域描述系統的數學模型微分方程以外，描述系統的另一種數學模型就是建立在拉普拉斯變換基礎上的「系統函式（system function）」——h(s)：
5.1系統函式h(s)的實質就是系統單位衝激響應h(t)的拉普拉斯變換。因此，系統函式也可以定義為：。
因此求系統函式的方法，除了按照定義式的方法之外，更常用的是對描述系統的線性常係數微分方程經過拉氏變換之後得到系統函式h(s)。
假設描述乙個連續時間lti系統的線性常係數微分方程為：
5.2對5.2式兩邊做拉普拉斯變換，則有
即5.3
5.3式說明，對於乙個能夠用線性常係數微分方程描述的連續時間lti系統，它的系統函式是乙個關於復變數s的有理多項式的分式，其分子和分母的多項式係數與系統微分方程左右兩端的係數是對應的。由此，可以很容易的根據微分方程寫出系統函式表示式，或者根據系統函式表示式寫出系統的微分方程。
系統函式h(s)大多數情況下是復變函式，因此，h(s)可以有多種表示形式：
（1）直角座標形式：
（2）零極點形式：
（3）部分分式和形式：（假設n>m，且無重極點）
根據所要分析的問題的不同，可以採用不同形式的系統函式h(s)表示式。在matlab中，是用系統函式的分子、分母多項式的係數向量來表示h(s)。由於系統函式的分母、分子的多項式係數與系統微分方程左右兩端的係數是對應的，因此，此實驗中各函式用到的向量a、b和前面實驗中微分方程左右兩端的係數向量是相同的。
2、應用拉普拉斯變換分析系統的主要內容
（1）求系統的頻率響應；
（2）求系統的單位衝激響應；
（3）繪製系統函式的零極點圖，判斷系統的穩定性
matlab中相應的復頻域分析函式如下：
h = freqs(b,a,w)：計算由係數向量b,a描述的系統的頻率響應特性。返回值h為頻率向量w規定的範圍內的頻率響應向量值。
如果不帶返回值h，則執行此函式後，將直接繪製出系統的對數頻率響應曲線（包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線）。
h = impulse(b,a)：求系統的單位衝激響應，若不帶返回值，則直接繪製響應曲線，帶返回值則將衝激響應數值存於向量h中。注意：
matlab總是把由分子和分母多項式表示的任何系統都當作是因果系統。所以，利用impulse ()函式求得的單位衝激響應總是因果訊號。
[z,p,k] = tf2zp(b,a)：求系統函式的零極點，返回值z為零點行向量，p為極點行向量，k為系統傳遞函式的零極點形式的增益。b為系統函式分子多項式的係數向量，a為系統函式分母多項式係數向量。
[x,y] = meshgrid(x1,y1)：在由x1，y1確定具體的區域範圍內產生繪製s平面圖的區域。
meshgrid(x,y,fs)：繪製系統函式的零極點曲面圖。
zplane(b,a)；
系統的穩定性主要取決於系統函式的收斂域是否包含整個虛軸，因此要根據系統的其他性質結合零極點圖得出系統函式的收斂域，進而判斷系統的穩定性，而系統的因果性則取決於系統極點位置的分布。
3、拉普拉斯反變換的計算
計算拉普拉斯反變換通常有長除法和部分分式展開法。matlab的內部函式residue( )可以實現部分分式的展開。
例：已知某訊號的拉普拉斯變換表示式為
求該訊號的時域表示式。
解：由於題目沒有指定收斂域，所以必須考慮所有可能的情況。為此，可以先計算出該訊號的拉普拉斯變換表示式的極點。很顯然，x(s)有兩個極點，分別為 s = -1，s = -2。
在matlab命令視窗鍵入：
>> b = 1;
>> a = [1 3 2];
>> [r, p, k] = residue (b, a)
命令視窗立即給出計算結果為：
r = -1
1p = -2
-1k = [ ]
根據r、p、k之值，可以寫出x(s)的部分分式和的表示式為：
然後根據不同的收斂域，可寫出x(s)的時域表示式x(t)。
第一種情況為re < -2，則x(t)為左邊訊號，其數學表示式為
第二種情況為-2 < re < -1，則x(t)為雙邊訊號，其數學表示式為
第三種情況為re > -1，則x(t)為因果訊號，其數學表示式為
在這個例題中，函式residue( )僅僅完成了部分分式展開的任務，至於反變換的數學表示式還得結合收斂域的不同才能寫出。
如果x(s)的分子的階數不小於分母的階數，則k將不是乙個空矩陣，例如，當時，在命令視窗中鍵入：
>> b = [1 0 0 0];
>> a = [1 3 2];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
則：r =
8-1p = -2
-1k = 1 -3
這裡的k = [1 3]，實際上是將x(s)做了乙個長除法後，得到的商的多項式。所以，根據上面的r、p、k的值，可寫出x(s)的部分分式和的表示式為：
有關函式residue( )的詳細用法，可查閱matlab幫助檔案。
三、實驗內容：
已知某連續因果系統的微分方程為：
a=11、寫出該系統的系統函式表示式。
2、繪製該系統的幅度響應特性、相位響應特性曲線圖，並判斷該系統具有何種濾波特性。
3、繪製該系統的零極點圖，判斷該系統的穩定性。
4、寫出該系統的單位衝激響應h(t)。
5、選做：改變方程中的a值，分別取0.6、0.
8、4、16等不同的值，觀察a取不同的值時系統的幅度頻率響應特性曲線的變化（頻寬、過渡頻寬和阻帶衰減等），說明零點位置對系統濾波特性的影響。
6、已知該系統的輸入訊號為，要求輸出訊號，k為乙個不為零的常數，根據5中不同a值得到的幅度頻率響應曲線，選擇乙個合適的a值使得本系統能夠滿足該濾波要求。
實驗結果：
實驗**：a=[1,2,2,1];
b=[0,1,0,1];
w=0:0.001:10;
[h,w] = freqs(b,a);
subplot(221);
plot(w,abs(h));
title('系統的頻率響應')
subplot(222);
plot(w,angle(h));
title('系統的單位衝激響應')
subplot(223)
[x,y] = meshgrid(-2,2)
[z,p,fs] = tf2zp(b,a)
meshgrid(x,y,fs)
zplane(b,a)
title('零極圖')
實驗截圖：
該系統是帶通濾波特性。系統較穩定。
系統函式x（s）=s-2+i/(s+1)-i/(s+0.5-0.866i)；
單位衝激函式h（t）=（e^(-t)-(e^(-0.5+0.866i)+e^(-0.5-0.866i)）u(t)
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