2014高教社杯全國大學生數學建模競賽
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日期： 2023年 8月 20日
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創意平板摺疊桌的最優設計
摘要本文討論了某公司的新型產品創意平板摺疊桌的設計問題。從易到難，將問題一步步深化，從各項設計引數已知到客戶提出各種需求引數，我們給出最優設計的數學模型。
首先，在平板尺寸、鋼筋位置、桌子高度和桌面形狀大小均已知的情況下，我們對資料進行計算，給出包括各木條長度、木條開槽長度等的設計加工引數，利用cad和matlab分別繪製出設計圖紙及桌角邊緣線的四分之一和整體板被切割的圖形。建立數學模型，通過討論桌子在不同高度時的狀態，給出對創意平板摺疊桌動態變化過程的描述。
進而，在僅知桌面高度和桌面形狀大小的情況下，我們綜合考慮成本、產品穩固性和加工簡便性，尋找板的最小面積與桌腿所形成的形狀（正方形時產品穩固性最好），找到它們其中同時的最優解，再求出在最優解情況下的開槽長度。通過對未知的設計引數進行字母設定，以實用和美觀為原則，對各項引數給以適當的取值範圍，得到平板摺疊桌體積的表示式。為將成本用料和產品穩固性綜合考慮，我們去尋找同時到達的最小方差，利用lingo軟體，當其比值最大時，找到了綜合考慮成本和產品穩固性的最優解。
在最優解各項設計引數已知後，按照幾何關係列式求出相應的開槽長度。
最後，在平板摺疊桌的外觀要求全部由顧客制定時，我們建立數學模型將平板摺疊桌分為三大類，桌面形狀分為凸形、凹形和凹凸結合性。對於每一類，制定不同的平板處理方法，在確定一些滿足桌子實用性和美觀性基本要求的設計引數的取值範圍後，我們給出相應的設計引數最優解的求解步驟。再利用我們所設計的數學模型結合cad繪圖，給出一種個性設計的創意平板摺疊桌的動態變化圖示。
關鍵詞：平板摺疊桌、最優設計、數學模型、多目標優化、壓桿穩定、autocad、matlab、lingo
一. 問題重述
1.1背景
某公司生產了一種平板摺疊桌，為了增大有效使用面積,設計師以長方形木板的寬為直徑擷取了乙個圓形作為桌面,又將木板剩餘的面積切割成了若干個長短不一的木樑,每個木樑的長度為寬到圓上一點的距離,分別用兩根全屬棒貫穿兩側的木條。操作簡單，外形美觀，具有創意性。為進一步開發這種新型平板摺疊桌的價值，我們需要綜合考慮該產品的生產成本以及其穩定性和適用性。
因此，有必要研發一款設計軟體，來指導我們如何根據不同的板材規格和不同的顧客需求來設計產品，令平板摺疊桌在市場中占有一席之地。
1.2需要解決的問題
問題一：若已知長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連線桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，摺疊後桌子的高度為53 cm。
在以上資料的基礎上，建立數學模型來描述摺疊桌的動態變化過程並給出具體的設計加工引數和桌腳邊緣線的數學描述。
問題二：若僅知桌子的高度為70cm，圓形桌面的直徑為80cm，從產品穩固性、加工簡便性和材料節省性三個角度，確定最優的設計加工引數。
問題三：構建乙個設計軟體的數學模型，使得該設計軟體可以根據客戶任意給出的摺疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，計算出所需平板材料的形狀尺寸和最優設計。
二. 問題分析
如圖，由於桌腿與地面接觸時產生的下部三角形空間2和上部三角形空間1相抵消，所以桌子腿的厚度可以忽略不計，故在以下的討論中將桌子腿看作一條無厚度線段。
問題一：由於摺疊桌的桌面形狀為近似圓形，木板材料的長寬高、每根木條的寬度、桌面高度及鋼筋固定點均為已知值，故可直接通過計算來得出設計加工的各項引數，進而利用cad和matlab繪製出大致的設計圖紙和桌角邊緣線。由於在產品由平板動態變化至桌子的過程中，桌面高度不斷變化，故引入桌面高度這一引數，建立方程，從而得到對創意平板摺疊桌的動態過程的描述。
問題二：本問題中，將用料成本、產品穩定性首先納入考慮。由於用料體積需由平板摺疊桌的各項設計引數得出，故將未知量用字母表示，進而列式。
以用料體積、穩定安全因數分別作為其代表引數，用穩定安全因數和用料體積之比作為綜合考慮用料成本和產品穩定性的標準值，利用lingo軟體得出最優解。在表達穩定安全因數時，為得出臨界壓力，選用一種確定木材考慮問題，實際壓力則可直接給定。在得出最優解後，計算出開槽長度。
問題三：在客戶提出各種創意平板摺疊桌的尺寸引數的情況下，通過將各種設計分為三類，即桌面形狀為凸形、凹形和凹凸結合形，並給出分類的數學模型依據，再根據分類結果設定不同的平板處理方法。滿足了客戶對平板摺疊桌外觀的要求後，對處理後的平板按照第二問的思路，設定為了滿足平板摺疊桌基本的實用性和美觀性而產生的各項設計引數的取值範圍，從用料成本和穩定性的角度用lingo軟體求出穩定安全因數和用料體積之比的最優解，在最優解的資料基礎上，用matlab計算出各項設計引數。
最後自行設計三種平板摺疊桌樣式，對於每種設計給出三張動態變化圖。
三. 問題假設
3.1 假設忽略各桌子腿之間的間隙距離。
3.2 假設鋼筋的大小粗細不計。
3.3 用料體積由整塊平板體積決定（不受切割部分影響）
3.4 最長腿與桌面相連部分與桌面中心邊緣距離為3cm。
四. 符號說明
五. 模型的建立與求解
5.1關於問題一的模型建立與求解
由問題一題設知：
以平板中心為原點，圖一所示x、y方向為x、y軸正向，豎直向上為z軸正向，建立空間直角座標系。由於平板的結構的軸對稱性，故以下只擷取其右下四分之一部分進行計算。
5.1.1木條長度
為求各根木條的長度，在x軸正方向取每根木條的中點位置，即從x=0cm處每隔取值，得到。
由勾股定理公式：
易得到各根木條的長度。
由cad繪製的整體平板摺疊桌設計平面草圖如下：
由cad繪圖得到的桌子腿立體效果圖如下：
5.1.2 木條開槽長度
由公式：
解得，。
綜合圖一和圖二的幾何關係，由公式：
c= 即可計算出各根木條的開槽長度。
利用附件8.1附錄一中matlab示例程式一得出木條開槽長度的計算結果如下：
5.1.3 桌角邊緣線
由5.1.2中已得結果和圖二中所在三角形的相似關係，列式得：
z=由上式給出的關係，利用附件8.1附錄一中matlab示例程式二繪出的四分之一部分桌角邊緣線如圖：
5.1.4 動態描述
當平板摺疊桌形態動態變化時，其桌面高度不斷變化，
故引入引數h，列出如下方程：
y= z=
此方程即為對平板摺疊桌動態變化過程的數學描述。
5.2關於問題二的模型建立與求解
由問題二題設知：
5.2.1從產品穩固性、加工簡便性和材料節省性三個角度出發尋找最佳解
，假設所用板的長為a，x為最長腿與桌面接觸處的兩邊的距離,h為桌面底部到地面的距離。如圖中為最長腿與桌面形成的側面圖形。由圖形可得：最長腿到地面的投影長度：
兩腿的跨長：
即，使跨長最長（y值最大）解得：
又知：而且，當桌腿與地面形成的圖形為正方形時，此桌子的穩固性最好：
又得：即，解得：
而且為了使用料最少，則使a值最小。從實用性的角度，桌面寬度不得大於等於10cm，則h在70〉h〉60。去特殊值：
即，得到差值的平均值恰好為2.53cm，則取h=65cm,也得a=152cm。由此得解達到最佳解。