§1.4 差商與差分及其性質
1 差商的概念:
稱為函式f(x)的一階差商；
稱為函式f(x)的二階差商；
一般地，稱為函式f(x)的n階差商；
特別地，定義為函式f(x)關於xo的零階差商。
由此可知，高階差商總是由比它低一階的的兩個差商組合而成。
2 差商性質
（a） 性質1:n階差商可以表示成n+1個函式值的線性組合,即
該性質說明：k階差商計算是由函式值f(x0),f(x1),…f(xk)線性組合而。
如:；(b) 性質2(對稱性): 差商與節點的順序無關。即
，這一點可以從性質1看出。
3 利用差商表計算差商
利用差商的遞推定義,可以用遞推來計算差商。
差商表：
如要計算四階差商,應再增加乙個節點,表中還要增加一行。
4 差分的概念
定義設函式y=f(x)在等距節點上的函式值f(xi)=fi,其中，h為常數稱作步長。稱
△fi=fi+1-fi
▽fi=fi-fi-1
δfi=f(xi+h/2)-f(xi-h/2)=
分別為f(x)在處以h為步長的一階向前差分，一階向後差分和一階中心差分。稱符號△、▽、δ分別為向前差分運算元，向後差分運算元和中心差分運算元。
在節點等距情況下，差商可用差分表示，設步長，有
一般形式(數學歸納法可證)
§1.5 牛頓插值公式
1. 牛頓插值公式的構造
lagrange 插值雖然易算，但若要增加乙個節點時，全部基函式 li(x) 都需重新算過。本節介紹另外一種方法-牛頓插值法，並用它解決上面所述問題。
由線性插值
，令二次插值能否寫成
由條件得
推廣得,
其中，為待定係數。如何求?
解: 因為,
所以 (0)
又,有 (1)又2)
一般地,
(n)將式(n)代入式(n-1), ...,式(2)代入式 (1),式(1)代入式 (0),
如此可得:
尤為注意的是：最後一項中,差商部分含有,乃是餘項部分,記作;而前面n+1項中,差商部分都不含有,因而前面n+1項是關於的n次多項式,記作,這就是牛頓插值公式。
2 算例
例1:當n=1時，
,其中,
這就是牛頓一次插值多項式，也就是點斜式直線方程。
當n=2時,
這就是牛頓二次插值多項式。顯然,
,。即滿足二次插值條件。
例2: 已知
求滿足以上插值條件的牛頓型插值多項式。
解: 由於:
,,,;
則牛頓三次插值多項式為
。1 拉格朗日插值與牛頓插值的比較
(1)和均是n次多項式,
且均滿足插值條件:
。由多項式的唯一性,,因而,兩個公式的餘項是相等的,即
(2)當插值多項式從n-1次增加到n次時,拉格朗日型插值必須重新計算所有的基本插值多項式;而對於牛頓型插值,只需用**再計算乙個n階差商,然後加上一項即可。
4 等距牛頓插值公式
插值節點為等距節點：
，,如下圖：
h h hh
牛頓插值公式
設等距節點，
記.當，令，. 例如（下圖）
x在x2，x3的中點時，。
將牛頓插值公式中的差商用差分代替,而
從而,牛頓插值公式在等距插值節點下的形式為:
餘項為這是等距牛頓向前插值公式。
例4: 設插值節點為,相應的函式值如下表,求f(2.2)。
解：精確值f(2.2)=e2.2=9.025011。
此時[xk, xk+1],x=2.2=1+2.4h 故t=2.4,於是
求時，在後加一項：
，所以求時，在後再加一項：，所以
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