一、選擇題、簡述題
1．，具有4位有效數字的近似值為（ d ）。
a． 3.1415 b. 3.142 c． 3.141 d. 3.1416.
2. 若，求值的比較準確的算式為（c）
a. b.
cd.3. 使用gauss消去法求解乙個n元線性方程組 ax=b所需乘（除法）運算次數約為：（b ）
a. b. c. d.
4. 若實方陣a滿足（ d）時，則存在唯一單位下三角陣和上三角陣，使。
ab.某個
c. d.
(表示a的k順序階主子式)
5. 對於線性方程組 ax=b,迭代公式，那麼gauss-seidel 迭代公式中（a）
c. d.
6. 設為線性方程組 ax=b的解，對給定的,是由迭代公式得到近似解序列，如果，則有（a）
7. 已知，則（ c ）。
a. 5 b. 7 c. 10 d 8
8．（1）什麼是線性代數方程組的直接解法和迭代解法？（2）函式插值和函式逼近各有什麼特點？
解：（1）直接解法就是通過有限步的計算得到精確解的的方法，迭代解法就是通過逐次迭代逼近來得到近似解的方法.
9．寫出時 lagrange插值基函式的表示式；
解： 10．對線性代數方程組
假設全不為零，試寫出j acobi迭代格式的分量形式以及矩陣形式。
解：線性代數方程組的矩陣形式為，其中
，，令，，則，從而線性代數方程組可以寫成
因此，j acobi迭代格式的分量形式為
j acobi迭代格式的矩陣形式為
二、（1）下面方程組能否用雅克比迭代法求解，並說明判別依據。若能用雅克比迭代求解，請寫出迭代算式及迭代計算結束的判別條件。若,請用雅克比迭代算式計算三步。
（2）設有線性方程組：
試證明此線性代數方程組用jacobi迭代法求解時對任意初始向量都收斂, 而用gauss-seidel迭代法求解時不是對任意初始向量都收斂。取,試用j-迭代法進行求解,要求。
解：對此方程組,由於
，，，(1)用j-迭代法求解
，故用j-迭代法求解時對任意初始值都收斂。
(2)用gs-迭代法求解
，故用gauss-seidel迭代法求解發散.這種發散的含義:用gauss-seidel迭代法求解時並不是對任意初始值都發散,即對有的初始值,用gs-迭代法求解時可能發散,但對有些初始值,用gs-迭代法求解時卻可能收斂。
，，，，。
三、用高斯列主元法解如下方程組
（1） （2）
四、設的函式值及導數值為：，試求次數不超過2的插值多項式。
解：因為若在上有三階連續導數，已知在上兩個互異點上的函式值，和一階導數值，則次數不超過二次的插值多項式為
並且插值餘項為
所以本題的插值多項式為
五、的插值二次式，使得，計算的近似值。
解： 插值多項式為
故的近似值為
六、對下列資料集，用最小二乘法求解擬合拋物線
解：取，，，，，由於 ，，，，，，
，，從而可得法方程組為
解次方程組可得
故所求二次擬和合曲線為。
七、給定線性方程組：
證明：它用jacobi 方法求解時發散，而用gauss-seidel方法求解時收斂，並說明用jacobi 方法求解時發散的含義。
解由a=-l+d-u
可得由可知
由可得：
1=0，λ2，3=±, 故
從而可知用jacobi迭代法求解時發散。
而由可得λ1=0，λ2，3=–，故
從而可知gauss_seidel迭代法收斂。
jacobi迭代法發散的含義是：並不是對所有初始x(0),都有迭代序列發散，有可能對某些初始值x(0)，由它產生的序列收斂，若迭代序列的所有特徵值的模均大於1，則對任何初始值x(0)，由它產生的迭代序列均發散，若迭代矩陣的特徵值中有部分特徵值其模大於1，有部分特徵值其模小於1，則迭代序列的收斂性不定。
八、設是互不相同的節點，是插值基函式，求證：對任何k=0,1,2,…,n下式成立：
（12）
證明：(1) 令則的lagrange插值多項式為
其中為lagrange插值基函式。
插值餘項為
其中 ，在之間.
由於故，從而,
即), 故
(2) 根據二項式展開定理有：
由(1)結論可得)
九、 證明：若則在節點處的 n 階差商為
十、已知函式的資料如下：
，（1）求的四次lagrange插值多項式及牛頓差商表和牛頓插值公式，並寫出截斷誤差表示式。
（2）如果再增加乙個節點，試利用（1）的結果，來求在新的條件下，的牛頓差商表和牛頓插值公式，並寫出截斷誤差表示式。
解：（1）lagrange插值多項式：
牛頓差商表：
牛頓差值多項式為：
截斷誤差為：
（2）（2）牛頓差值多項式為：
截斷誤差為：
十一、設是維向量，，，，是階方陣，，，其中為矩陣b的譜半徑，試證明向量範數和矩陣範數滿足關係式：（1）；（2）；（3）。
十二、若在上有三階連續導數，已知在上兩個互異點上的函式值，和一階導數值，試用兩種插值匯出的表示式為
其中。十三、求滿足條件
的埃爾公尺特（hermite）插值多項式.
十四、求在區間上，關於權函式正交的多項式。
解：設 則由得
由得由得
從而可得
故十五. （10分）求解下列各題。
1.已知資料為
使用二次多項式進行擬合。
2.給定經驗資料
試用形如（為常數）的經驗公式來擬合。
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