1．線段的比的定義
如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那麼就說這兩條線段的比是a:b=m:n ，或寫成．
2.比例的性質
（1）合比性質如果，；
（2）分比性質如果，；
（3）更比性質如果，.
（4）等比性質定理如果，則
圖形的相似和比例線段--知識講解（提高）
【要點梳理】
要點一、比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那麼就說這兩條線段的比是a:b=m:n ，或寫成．
2．成比例線段：對於四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．
要點二、相似圖形
在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
要點詮釋：
(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) 「全等」是「相似」的一種特殊情況，即當「形狀相同」且「大小相同」時，兩個圖形是全等；
要點三、相似多邊形
相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形． p1
要點詮釋：
（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．
【典型例題】
型別一、比例線段
例題1. （1）求證：如果，那麼.
【思路點撥】這是比例的合比性質，利用等式的性質得到證明.
【答案與解析
在等式兩邊同加上1，
【總結昇華】比例有合比性質如果，；
分比性質如果，；
更比性質如果，.
（2）已知線段a、b、c、d，滿足 ，求證：.
【答案】證明：設=k ∴∴∴
型別二、相似圖形
例題2.（1） 如果兩個四邊形的對應邊成比例，能不能得出這兩個四邊形相似？為什麼？
【答案與解析】從我們日常生活的直觀經驗中可以得出結論.兩個四邊形對應邊成比例，這兩個四邊形不一定相似，如下圖，邊長是6的正方形和邊長是2的菱形，它們對應邊之比都是3，但它們形狀並不一樣，因而也不相似.
【總結昇華】多邊形的相似要滿足兩個條件：（1）對應角相等，（2）對應邊的比相等.
（2）下面的四個圖案是空心的矩形，正方形，等邊三角形，不等邊三角形，其中每個圖案的邊的寬度都相等，那麼每個圖案中邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（ ）
【答案】ap3
型別三、相似多邊形
例題3.（1） 已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.
【答案與解析】∵四邊形與四邊形相似，且
.又∵四邊形的周長為26
即四邊形的四邊長為：.
【總結昇華】多邊形相似周長比等於相似比.
（2）等腰梯形與等腰梯形相似，，求出的長及梯形各角的度數.
【答案】∵等腰梯形與等腰梯形相似
p4例題4. 某小區有一塊矩形草坪長20公尺，寬10公尺，沿著草坪四周要修一寬度相等的環形小路，使得小路內外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.
【思路點撥】四邊形相似要滿足角對應相等，邊對應成比例.
【答案與解析】設小路寬為x公尺，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為(20+2x)公尺，寬為(10+2x)公尺，
將兩個矩形的長與寬分別相比，得長的比為，
而寬的比為，
很明顯，
所以做不到.
【總結昇華】通過本題的探索可以發現：把乙個矩形的長和寬同時增加或減小相同的長度，所得矩形與原來矩形一定不相似.因為.
考點集訓圖形的相似和比例線段（提高）
一．選擇題
1. 在比例尺為1︰1 000 000的地圖上，相距3cm的兩地，它們的實際距離為( )
a．3 km b．30 km c．300 km d．3 000 km
2. 已知線段滿足把它改寫成比例式，其中錯誤的是（ ）
a. b. c. d.
3. 已知△abc的三邊長分別為6cm、7.5cm、9cm，△def的一邊長為4cm，當△def的另兩邊的長是下列哪一組時，這兩個三角形相似( )
a．2cm，3cm b．4cm，5cm c．5cm，6cm d．6cm，7cm
p64.△abc與△a1b1c1相似且相似比為，△a1b1c1與△a2b2c2相似且相似比為，則△abc與△a2b2c2的相似比為 ( )
a． b． c．或 d．
5.下列兩個圖形：① 兩個等腰三角形；② 兩個直角三角形；③ 兩個正方形；④ 兩個矩形；⑤ 兩個菱形；⑥ 兩個正五邊形.其中一定相似的有（ ）
a. 2組 b. 3組 c. 4組 d. 5組
6.乙個鋼筋三角架三邊長分別是20cm，50cm，60cm，現要做乙個與其相似的三角架，只有長30cm，50cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根截下兩段（允許有餘料）做為其他兩邊，則不同的截法有（ ）
a.一種 b.兩種 c.三種 d.四種
p7二. 填空題
7. 小明有一張的地圖，他想繪製一幅較小的地圖，若新地圖寬為30cm，則新地圖長為_________cm.
8. △abc的三條邊長分別為、2、，△a′b′c′的兩邊長分別為1和，且△abc與△a′b′c′相似，那麼△a′b′c′的第三邊長為
9． 如圖：梯形adfe相似於梯形efcb,若ad=3，bc=4，則
10.已知若若:=___.
11.如圖：ab:bcab:cdbc:de
ac:cdcd:de
p812. 用乙個放大鏡看乙個四邊形abcd，若四邊形的邊長被放大為原來的10倍，下列結論①放大後的∠b是原來∠b的10倍；②兩個四邊形的對應邊相等；③兩個四邊形的對應角相等，
則正確的有
三．綜合題
13.如果，一次函式經過點（-1,2），
求此一次函式解析式.
p914. 如圖，在矩形abcd中，ab=2ad，線段ef=10，在ef上取一點m，分別以em、mf為一邊作矩形emnh、mfgn，使矩形mfgn與矩形abcd相似.令mn=x，當x為何值時，矩形emnh的面積s有最大值？
最大值是多少？
15. 從乙個矩形中剪去乙個盡可能大的正方形，如圖所示，若剩下的矩形與原矩形相似，
求原矩形的長與寬的比.
【答案與解析】
1.【答案】b【解析】圖上距離︰實際距離=1：1 000 000.
2.【答案】b
3．【答案】c 【解析】 設△def的另兩邊的長分別為xcm，ycm，因為△abc與△def相似，所以有下列幾種情況：
當時，解得；
當時，解得；
當時，解得；所以選c.
4．【答案】a
【解析】 相似比ab︰a1b1=，a1b1︰a2b2=，計算出ab︰a2b2.
5．【答案】a【解析】只有兩個正方形和正五邊形相似.
6．【答案】b
二、填空題
7.【答案】40.【解析】提示：兩地圖形狀相同，是相似形，所以它們對應邊的比相等
p118.【答案】【解析】提示：△a′b′c′已知兩邊之比為1：，在△abc中找出兩邊、，它們長度之比也為1︰，根據相似三角形對應邊的對應關係，求出相似比.
9.【答案】.
【解析】因為梯形adfe相似於梯形efcb，所以,即ef=,
所以10.【答案】
11.【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.
12.【答案】 ③
p12三、解答題
13.【解析】∵∴∴
則分兩種情況：（1），即,
2),即
所以當，過點（-1,2）時，
當，過點（-1,2）時，.
14.【解析】∵矩形mfgn與矩形abcd相似
當時，s有最大值，為.
p1315.【解析】根據矩形相似的性質找出相應的解析式求解.
設原矩形的長為x，寬為y，則剩下矩形的長為y，寬為x-y
由題意，得
令則，.又，
∴原矩形的長與寬之比為.
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