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第1單元機械振動
一、基本概念
1、機械振動——物體（或物體一部分）在某一中心位置附近所做的往復運動
2．回覆力：振動物體所受的總是指向平衡位置的合外力，使物體返回平衡位置的力
注意：①恢復力不一定是物體所受的合力，例單擺
③回覆力的意義是指向平衡位置方向上的合力
④恢復力是根據效果命名的
3．平衡位置：恢復力為零的位置，並非合外力為零的位置。例如單擺。
4．位移：是離開平衡位置的位移
5．簡諧運動——物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，並且總指向平衡位置的回覆力的作用下的振動，叫簡諧運動。表示式為：f= -kx
f=-kx是判斷乙個振動是不是簡諧運動的充分必要條件。凡是簡諧運動沿振動方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動方向的合力滿足該條件，那麼該振動一定是簡諧運動。
6．振幅：振動物體離開平衡位置的最大距離，是標量，表示振動的強弱，無正負之分。
7．週期和頻率：表示振動快慢的物理量。完成一次全振動所用的時間叫週期，單位時間內完成全振動次數叫頻率，大小由系統本身的性質決定，所以叫固有週期和頻率。
任何簡諧運動都有共同的週期公式：（其中m是振動物體的質量，k是回覆力係數，即簡諧運動的判定式f= -kx中的比例係數，對於彈簧振子k就是彈簧的勁度，對其它簡諧運動它就不再是彈簧的勁度了）。
二、典型的簡諧運動
1．彈簧振子
（1） 說明回覆力、加速度、速度、動能和勢能的變化規律（週期性和對稱性）
回覆力指向平衡位置。②位移從平衡位置開始。
（2）週期，與振幅無關，只由振子質量和彈簧的勁度決定。
（3）可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動也是簡諧運動，週期公式也是。這個結論可以直接使用。
（4）在水平方向上振動的彈簧振子的回覆力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動的彈簧振子的回覆力是彈簧彈力和重力的合力。
證明：如圖所示，設振子的平衡位置為o，向下方向為正方向，此時彈簧的形變為，根據胡克定律及平衡條件有①
當振子向下偏離平衡位置為時，回覆力（即合外力）為
②將①代人②得：，可見，重物振動時受力符合簡諧運動的條件．
【例1】 如圖所示，質量為m的小球放在勁度為k的輕彈簧上，使小球上下振動而又始終未脫離彈簧。（1）最大振幅a是多大？（2）在這個振幅下彈簧對小球的最大彈力fm是多大？
解析：該振動的回覆力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置以下，彈力大於重力，f- mg=ma，越往下彈力越大；在平衡位置以上，彈力小於重力，mg-f=ma，越往上彈力越小。
平衡位置和振動的振幅大小無關。因此振幅越大，在最高點處小球所受的彈力越小。極端情況是在最高點處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。
這時彈簧恰好為原長。
（1）最大振幅應滿足ka=mg， a=
（2）小球在最高點和最低點所受回覆力大小相同，所以有：fm-mg=mg，fm=2mg
【例2】彈簧振子以o點為平衡位置在b、c兩點之間做簡諧運動．b、c相距20 cm．某時刻振子處於b點．經過0.5 s，振子首次到達c點．求：
（1）振動的週期和頻率； （f＝1hz）
（2）振子在5 s內通過的路程及位移大小；（10cm．）
（3）振子在b點的加速度大小跟它距o點4 cm處p點的加速度大小的比值（5：2）
【例3】一彈簧振子做簡諧運動．週期為t（ d ）
a．若t時刻和（t+△t）時刻振子運動速度的大小相等、方向相反，則δt一定等於t/2的整數倍
d．若t時刻和（t+△t）時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則△t一定等於t的整數倍
c．若△t＝t／2，則在t時刻和（t－△t）時刻彈簧的長度一定相等
d．若△t＝t，則在t時刻和（t－△t）時刻振子運動的加速度一定相同
2．單擺。在一不可伸長、忽略質量的細線下端拴一質點，上端固定，構成的裝置叫單擺。⑴單擺的特點：
單擺是實際擺的理想化，是乙個理想模型;單擺振動可看作簡諧運動的條件：α＜10℃。單擺的等時性（伽利略），在振幅很小的情況下，單擺的振動週期與振幅、擺球的質量等無關; ④單擺的回覆力由重力沿圓弧方向的分力提供
⑵ 週期公式： （惠更斯）
半徑方向
向心力改變速度方向
切線方向：回覆力＝m g sinθ
改變速度大小
若θ角很小，則有 sin θ ＝ tan θ ＝ x / l,而且回覆力指向平衡位置，與位移方向相反，所以對於回覆力f，有 k 是常數
⑶單擺週期公式的應用
1、 測量當地的重力加速度測定重力加速度g,g= （l為等效擺長，是懸點到球心的距離。）
2、 擺鐘（振動週期是2秒的單擺叫秒擺）
3、惠更斯在2023年利用等時性發明了帶擺的計時器
（4）擺鐘問題。單擺的乙個重要應用就是利用單擺振動的等時性製成擺鐘。在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：
在一定時間內，擺鐘走過的格仔數n與頻率f成正比（n可以是分鐘數，也可以是秒數、小時數…），再由頻率公式可以得到：
(5)另：義大利的伽利略首先發現等時性，即在角度很小時，單擺的週期與振幅無關。
荷蘭的惠更斯確立了單擺的週期公式，週期跟擺長的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根成反比，跟振幅和擺球的質量無關
例4：三根長度相等都為l的細線一端繫於c點，另兩端固定於天花板上相距為l的a、b兩點，剩下的一端系一小球。當小球垂直於紙面振動時，其週期為 ；當小球左右擺動時，其週期為 ；
答案：例5：如圖，長為l的輕繩一端繫於固定點o，另一端系質量為m的小球，將小球從o點正下方l/4處以一定的初速度水平向右丟擲，經一定的時間，繩被拉直。以後小球將以o為圓心在豎直平面內擺動，已知繩剛被拉直時，繩與豎直線成600角。
求：⑴小球水平丟擲的初速度v0
⑵小球擺到最低點時，拉力t （答案：；2mg）
【例6】 將乙個力電感測器接到計算機上，可以測量快速變化的力。用這種方法測得的某單擺擺動過程中懸線上拉力大小隨時間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的資訊做出下列判斷：
①t＝0．2s時刻擺球正經過最低點；②t＝1．1s時擺球正處於最高點；③擺球擺動過程中機械能時而增大時而減小；④擺球擺動的週期約是t＝0．6s。上述判斷中正確的是
a．①③ b．②④ c．①② d．③④
解析：注意這是懸線上的拉力圖象，而不是振**象。當擺球到達最高點時，懸線上的拉力最小；當擺球到達最低點時，懸線上的拉力最大。
因此①②正確。從圖象中看出擺球到達最低點時的拉力一次比一次小，說明速率一次比一次小，反映出振動過程擺球一定受到阻力作用，因此機械能應該一直減小。在乙個週期內，擺球應該經過兩次最高點，兩次最低點，因此週期應該約是t＝1．2s。
因此答案③④錯誤。本題應選c。
三、簡諧運動的圖象
⑴圖象的描繪
1、 描點
2 實驗模擬法
⑵振**象的研究方法——把實際振動和圖象對應起來
可以從影象中得到以下資訊：
①直接讀出振幅（注意單位）
②直接讀出週期
③確定某一時刻物體的位移
④判定任一時刻運動物體的速度方向（最大位移處無方向）和加速度方向
⑤判定某一段時間內運動物體的速度、加速度、動能及勢能大小的變化情況
⑥計算一段時間內的路程：
⑶振**象的應用任何複雜的振動都可以看成是若干個簡諧振動的合成
【例7】 勁度係數為20n／cm的彈簧振子，它的振**象如圖所示，在圖中a點對應的時刻（b．）
a． 振子所受的彈力大小為0．5n，方向指向x軸的負方向
b．振子的速度方向指向x軸的正方向
c． 在0～4s內振子作了1．75次全振動
d。在0～4s內振子通過的路程為0．35cm，位移為0
【例8】 擺長為l的單擺做簡諧振動，若從某時刻開始計時，（取作t=0），當振動至時，擺球具有負向最大速度，則單擺的振**象是圖中的（d ）
例9．如圖所示，一塊質量為2 kg、塗有碳黑的玻璃板，在拉力f的作用下豎直向上做勻變速直線運動．乙個頻率為5 hz的振動方向為水平且固定的振針，在玻璃板上畫出了如圖所示的圖線，量得oa=1 cm，ob=4 cm，oc=9 cm．求拉力f的大小． （不計一切摩擦阻力，取g=10 m/s2）
解：oa=1 cm ab=3 cm bc=5 cm
因為：toa=tab=tbc=t/2=0.1 s 根據:δs=at2
a==2 m/s2 f-mg=ma 得：f=mg+ma=24 n
四、受迫振動與共振
（1）振動能量 = 動能 + 勢能 = 最大位移的勢能 = 平衡位置的動能
由振幅決定，與週期和頻率無關
（2）阻尼振動和無阻尼振動
1、阻尼振動存在阻力做負功，能量減小，振幅減小（減幅振動）
2. 無阻尼振動(等幅振動)
在振動中,為保持振幅不變(能量不變)，應及時地補充能量,使a不變
（3）受迫振動
1. 得到持續的,等幅振動的最簡單的辦法是用週期性的外力(驅動力)作用於物體,物體在驅動力作用下的振動,叫受迫振動.
2. 物體做受迫振動的頻率由驅動力決定,等於驅動力頻率,而與固有頻率無關(奴隸,奴隸主)如：鐘擺 , 鞦韆
（4） 共振——在受迫振動中,驅動力的頻率和物體的固有頻率相等時,振幅最大
（5）、共振的防止和應用
（1）利用共振的有：共振篩、轉速計、微波爐、打夯機、跳板跳水、打鞦韆……
（2）防止共振的有：工具機底座、航海、軍隊過橋、高層建築、火車車廂……
偏心輪 共振篩
【例10】 把乙個篩子用四根彈簧支起來，篩子上裝乙個電動偏心輪，它每轉一周，給篩子乙個驅動力，這就做成了乙個共振篩。不開電動機讓這個篩子自由振動時，完成20次全振動用15s；在某電壓下，電動偏心輪的轉速是88r/min。已知增大電動偏心輪的電壓可以使其轉速提高，而增加篩子的總質量可以增大篩子的固有週期。
為使共振篩的振幅增大，以下做法正確的是
a．降低輸入電壓b．提高輸入電壓
c．增加篩子質量d．減小篩子質量
解析：篩子的固有頻率為f固=4/3hz，而當時的驅動力頻率為f驅=88/60hz，即f固< f驅。為了達到振幅增大，應該減小這兩個頻率差，所以應該增大固有頻率或減小驅動力頻率。
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