§17.3 二項展開式
重點展開二項式
難點 理解並記住二項展開式以及通項公式
學習要求
正確展開二項式
正確寫出二項式通項
展開(x+y)2為x,y的多項式，對你來說應該是毫無困難；展開(x+y)3也不能難倒你；但如果要你展開(x+y)100為x,y的多項式，你可能要傻眼了就覺得有困難了，因為不但可以預料展開式冗長，而且x,y的次數及各項係數的計算也會令人望而卻步．本節將揭示這種展開式中x,y的次數及各項係數的規律．這其中的關鍵是組合數的應用．
1. 二項式展開
按代數式相乘的法則展開(x+y)3，並且依x的降冪排列，結果是8項之和：
(x+y)3=(x+y) (x+y) (x+y)
=x3+x2y+x2y+x2y+xy2+xy2+xy2+y3，
其中每一項x的次方與y的次方之和都是3，且其中有不少同類項．合併同類項後得到4項：
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3．
同樣按代數式相乘法則展開(x+y)n，並且依x的降冪排列，
結果將是2n項相加：
(x+y)n =xn+xn-1y+…+xn-2y2+…+xn-3y3+…+xyn-1+yn， (1)
其中的每一項都是xkyn-k的形式(0kn)，且也有許多同類項．只要對每個k=0,1,2,…,n，能知道xkyn-k的同類項個數ak，那麼合併同類項後，(1)式必定是如下n+1項的和的形式：
(x+y)n =anxn+an-1xn-1y+an-2xn-2y2+an-3xn-3y3+…+a1xyn-1+a0yn2)
(1)二項式定理
以(x+y)100的展開問題為例．例如考慮x10y90的同類項，它可以以下列形式出現：
xx...xyy...y, xx...xyxyy...y, xx...xyyxyy...y,..., yy...yxx...x
其個數a10相當於把90個y 放到100個格仔裡去(其餘格仔留給x)的可能放法，這正是100取90的組合數，因此x10y90的同類項個數a10=．把x10y90換成一般的項xky100-k(0k100)，無非是把上面討論中的10換成k，同樣得到xky100-k的同類項項數ak=．
更一般地討論展開(x+y)n，相當於上面討論中的100換成n；據(2)式，此時每一項x與y的指數和是n；取其中任意乙個項xkyn-k(0kn)，同類項的個數相當於n個格仔，放n-k個y的可能放法，這是n取n-k的組合數．
各同類項計數完畢，就能寫出(x+y)n按x的降冪排列的展開式了．
(x+y)n=xny0+xn-1y+xn-2y2+xn-3y3+...+xyn-1+x0yn ,
即x+y)n17-3-1)
（17-3-1）中，符號「」是求和記號；「」是求和的項的通式，「」的上、下標分別表示起始項和最後一項所對應的k．
根據組合數的對偶法則，=，因此(17-3-1)也能寫為
(x+y)n17-3-2)
公式(17-3-1), (17-3-2)稱為二項式定理．等式右邊的多項式稱為二項展開式，共有n+1項；展開式中的係數(k=0,1,2,...,n)稱為二項式係數；(0kn)是展開式的第k+1項，稱為二項展開式的通項，記作
17-3-3)
(2)二項式係數的計算
要想得到(x+y)n的具體的展開式，關鍵是計算二項式係數．在知道了組合數公式後，理論上這種計算並無困難．
讓我們把所有的係數搭成如圖17-6的那個三角形，可見三角形各排兩端的數總是1；根據組合數的增一法則，從第三排起，中間任何乙個數等於上一排其「肩上」兩個數字的和．去掉組合數符號，留下計算結果，則是圖17-7的三角形．
這個三角形數表，是自然界和諧統一的體現．古時候文明之邦，或早或遲都會有人發現並研究它，我國宋朝數學家楊輝(13世紀)所著《詳解九章算術》裡就已經記載著這樣的表，我們稱這個表為楊輝三角．楊輝三角源自賈憲(11世紀)，因此現在有些數學家建議改稱賈憲三角．法國人帕斯卡(pascal,17世紀)也發現了這個表，在西方稱為帕斯卡三角．
例1 展開(2+x)5．
解 (2+x)5=
32+80x+80x2+40x3+10x4+x5．
例2 求展開式中的第7項．
解 t7=t6+1==17010a4b3．
課內練習1
1. 展開下列各式：
(1)(x+2)6； (2)(2a-3b)4．
2. 求展開式中的第5項．
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