西安交通大學考試題
課程線性代數與空間解析幾何（a）卷
學院成績
專業班號考試日期2023年1月15日姓名學號期末題號得分√一
二三四五
六七八一、單項選擇題(每小題5分,共15分)
(1).設a為三階方陣,將a的第2行加到第1行得矩陣b，再將b的第1列的
1101倍加到第2列得矩陣c，記矩陣p010,則
001(a)cp1ap.(b)cpap1. (c)cptap. (d)cpapt.【】
(2).設有線性方程組(i) :axo，(ii):
ataxo,則(a) (ii)的解是(i)的解，(i)的解也是(ii)的解;(b) (ii)的解是(i)的解，但(i)的解不是(ii)的解;(c) (i)的解不是(ii)的解，(ii)的解也不是(i)的解;
(d) (i)的解是(ii)的解，但(ii)的解不是(i)的解;.【】(3)若n階方陣a相似於對角陣，則
(a)a有n個不同的特徵值;(b)a為實對稱陣;
(c)a有n個線性無關的特徵向量;(d)r(a)n.【】二、填空題(每小題5分,共15分)
1(1).設2是可逆矩陣a的乙個特徵值，則矩陣a2的乙個特徵值3為.
20t(2).矩陣b，則二次型f(x)xbx的矩陣為.
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1(3).已知1,2,3是四元方程組axb的三個解，其中r(a)3且
12(1,2,3,4)t,23(4,4,4,4)t，則方程組axb的通解為
三、(12分)證明兩直線l1:xyz4,l2:xyz異面；求兩直線間的距離；並求與l1,l2都垂直且相交的直線方程。
四、(12分)線性方程組
11x1311x2211x32
討論取何值時，該方程組有唯一解、無解、有無窮多解?並在有無窮多解時,
求出該方程組的結構式通解.
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五、(12分).已知二次曲面方程x2ay2z22bxy2xz2yz4可經過正交變xx'
py'化為柱面方程22y換y'4z'4，求a,b的值及正交矩陣'
101六、(12分)設a020,矩陣x滿足axia2x，其中i為三階單位矩
101陣，求矩陣x.
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七、(12分) (注意:學習過第8章「線性變換」者做第(2)題,其餘同學做第(1)題)
11231301
，線性空間vb|bf4，方程組ax=b有解(1)矩陣a
01111432
求v的基與維數.
(2)設tlr3,t在r3的基1(1,1,1)t,2(1,0,1)t,3(0,1,1)t下的矩
101陣為a110，求t在基1(1,0,0)t,2(0,1,0)t,3(0,0,1)t下的
121矩陣.
八、(10分)設1,2,,n是n維列向量組，矩陣
1t11t2tt2212
attn2n1
1tn2tn
ntn試證明1,2,,n線性無關的充要條件是對任意n維列向量b，方程組axb均有解。
西安交通大學本科生課程考試試題標準答案與評分標準
課程名稱：線性代數與幾何（a）課時：48考試時間：2023年1月15日
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一.單選題（5分3=15分） a3. c
1232二.填空題（5分3=15分）1.2.1402
為任意常數
三.（12分）a1(1,1,1)t,a2(1,1,1)t
取點p1(0,0,4)l1，點p2(0,0,0)l2,p1p2(0,0,4)
混合積[a1,a2,p，故l1,l2異面…1p2]80
|[aapp]|8
22l1與l2的距離d1212
a1a222
公垂線l的方向向量l//(0,1,1)
含l,l1的平面方程為2(x0)1(y0)1(z4)0含l,l2的平面方程為2(x0)1(y0)1(z0)0故公垂線l的方程為:2xyz40
2xyz0.
121131
01(1)0四.（12分）a1120(2)(1)3(1)1120①當2且1時,r(a)r(a)3方程組有唯一解
②當2時,r(a)2,r(a)3方程組無解…
1112
③當1時,a0000,r(a)(a)13方程組有無窮多解,取乙個
0000
特解(2,0,0)t,易得匯出組的乙個基礎解系為:1(1,1,0)t,2(1,0,1)t,故結構式通解為xc11c22,c1c2為任意常數
1b10
五.記aba1,d1，有p1apptapd，10,21,34.
4111
0141a1
,故a3,b1…2
014|a|(b1)
對10，解(0ia)x0,得屬於1的特徵向量(1,0,1)t；對21，解(1ia)x0,得屬於2的特徵向量(1,1,1)t；
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對34，解(4ia)x0,得屬於3的特徵向量(1,1,1)t.將上述3個特徵向量再正交化，單位化，得正交矩陣
111236
12p0
36111
362六、（12分）由題知(ai)xa2i(ai)(ai),
001ai010可逆…
100201
故x(ai)1(ai)(ai)ai030
102七、（12分）的基與維數為a的列向量組的極大無關組和秩…..記a[1234]，可計算出a的極大無關組為1,2,3，
故w的基為1,2,3，維數為3……
2.基1,2,3到1,2,3的過渡矩陣記為p
100110
即010101p……………………
001111
1121
則t在1,2,3下的矩陣為pap220……
302八.（10分）記d[1,2,n]
即a可逆,故對任意n由1,n線性無關知|d|0而a|dtd||d|20，
維列向量b，方程組axb均有解xa1b。……………
分別取b1,2,n,由方程組axb均有解知，1,2,n與a的列向量組等價,故r(a)n，從而a|dtd||d|20,得|d|0故1,n線性無關
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