明目標、知重點 1.通過具體例項理解全稱量詞和存在量詞的含義.2.會判斷全稱命題和特稱命題的真假．
1．全稱量詞與全稱命題
在命題的條件中，「所有」「每乙個」「任何」「任意一條」「一切」都是在指定範圍內，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題．
2．存在量詞與特稱命題
在命題中，「有些」「至少有乙個」「有乙個」「存在」都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．
含有存在量詞的命題，叫作特稱命題．
**點一全稱量詞與全稱命題
思考1 下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什麼關係？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整數；
(3)對所有的x∈r，x>3；
(4)對任意乙個x∈z,2x＋1是整數．
答語句(1)(2)含有變數x，由於不知道變數x代表什麼數，無法判斷它們的真假，因而不是命題．語句(3)在(1)的基礎上，用短語「對所有的」對變數x進行限定；語句(4)在(2)的基礎上，用短語「對任意乙個」對變數x進行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題．
小結短語「所有」「每乙個」「任何」「任意一條」「一切」都是在指定範圍內，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．像這樣含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題．
思考2 如何判定乙個全稱命題的真假？
答要判定乙個全稱命題是真命題，必須對限定集合m中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合m中的乙個x0，使得p(x0)不成立即可(即舉反例)．
例1 判斷下列全稱命題的真假：
(1)所有的素數是奇數；
(2)任意x∈r，x2＋1≥1；
(3)對每乙個無理數x，x2也是無理數．
解 (1)2是素數，但2不是奇數．
所以，全稱命題「所有的素數是奇數」是假命題．
(2)任意x∈r，總有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以，全稱命題「任意x∈r，x2＋1≥1」是真命題．
(3) 是無理數，但()2＝2是有理數．
所以，全稱命題「對每乙個無理數x，x2也是無理數」是假命題．
反思與感悟判斷全稱命題的真假，要看命題是否對給定集合中的所有元素成立．
跟蹤訓練1 試判斷下列全稱命題的真假：
(1)任意x∈r，x2＋2>0；(2)任意x∈n，x4≥1.
(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由於任意x∈r，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命題「任意x∈r，x2＋2>0」是真命題．
(2)由於0∈n，當x＝0時，x4≥1不成立，所以命題「任意x∈n，x4≥1」是假命題．
(3)由於任意α∈r，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命題「對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1」是真命題．
**點二存在量詞與特稱命題
思考1 下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什麼關係？
(1)2x＋1＝3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在乙個x0∈r，使2x0＋1＝3；
(4)至少有乙個x0∈z，使x0能被2和3整除．
答 (1)(2)不是命題，(3)(4)是命題．語句(3)在(1)的基礎上，用短語「存在乙個」對變數x的取值進行限定；語句(4)在(2)的基礎上，用「至少有乙個」對變數x的取值進行限定，從而使(3)(4)變成了可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題．
小結 「有些」「至少有乙個」「有乙個」「存在」都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．像這樣含有存在量詞的命題，叫作特稱命題．
思考2 怎樣判斷乙個特稱命題的真假？
答要判斷乙個特稱命題是真命題，只要在限定集合m中，至少能找到乙個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則，這一特稱命題是假命題．
例2 判斷下列特稱命題的真假：
(1)有乙個實數x0，使x＋2x0＋3＝0；
(2)存在兩個相交平面垂直於同一條直線；
(3)有些整數只有兩個正因數．
解 (1)由於任意x∈r，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的實數x不存在．所以，特稱命題「有乙個實數x0，使x＋2x0＋3＝0」是假命題．
(2)由於垂直於同一條直線的兩個平面是互相平行的，因此不存在兩個相交的平面垂直於同一條直線．所以，特稱命題「存在兩個相交平面垂直於同一條直線」是假命題．
(3)由於存在整數3只有兩個正因數1和3，所以特稱命題「有些整數只有兩個正因數」是真命題．
反思與感悟特稱命題是含有存在量詞的命題，判斷乙個特稱命題為真，只需在指定集合中找到乙個元素滿足命題結論即可．
跟蹤訓練2 判斷下列命題的真假：
(1)存在x0∈z，x<1；
(2)存在乙個四邊形不是平行四邊形；
(3)有乙個實數α，tan α無意義；
(4)存在x0∈r，cos x0＝.
解 (1)∵－1∈z，且(－1)3＝－1<1，
∴「存在x0∈z，x<1」是真命題．
(2)真命題，如梯形．
(3)真命題，當α＝時，tan α無意義．
(4)∵當x∈r時，cos x∈[－1,1]，
而》1，∴不存在x0∈r，
使cos x0＝，
∴原命題是假命題．
**點三全稱命題、特稱命題的應用
思考不等式有解和不等式恆成立有何區別？
答不等式有解是存在乙個元素，使不等式成立，相當於乙個特稱命題；不等式恆成立則是給定集合中的所有元素都能使不等式成立，相當於乙個全稱命題．
例3 (1)已知關於x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實數a的取值範圍；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若對任意x∈r，p(x)是真命題，求實數a的取值範圍．
解 (1)關於x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴實數a的取值範圍為.
(2)∵對任意x∈r，p(x)是真命題．
∴對任意x∈r，ax2＋2x＋1>0恆成立，
當a＝0時，不等式為2x＋1>0不恆成立，
當a≠0時，若不等式恆成立，則
∴a>1.
反思與感悟有解和恆成立問題是特稱命題和全稱命題的應用，注意二者的區別．
跟蹤訓練3 (1)對於任意實數x，不等式sin x＋cos x>m恆成立，求實數m的取值範圍；
(2)存在實數x，不等式sin x＋cos x>m有解，求實數m的取值範圍．
解 (1)令y＝sin x＋cos x，x∈r，
∵y＝sin x＋cos x＝sin≥－，
又∵任意x∈r，sin x＋cos x>m恆成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值範圍是(－∞，－)．
(2)令y＝sin x＋cos x，x∈r，
∵y＝sin x＋cos x＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈r，sin x＋cos x>m有解，
∴只要m《即可，
∴所求m的取值範圍是(－∞，)．
1．下列命題中特稱命題的個數是( )
①有些自然數是偶數；②正方形是菱形；③能被6整除的數也能被3整除；④對於任意x∈r，總有|sin x|≤1.
a．0 b．1 c．2 d．3
答案 b
解析命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為「所有的正方形都是菱形」，故為全稱命題；命題③可以敘述為「一切能被6整除的數都能被3整除」，是全稱命題；而命題④是全稱命題．故有乙個特稱命題．
2．下列命題中，不是全稱命題的是( )
a．任何乙個實數乘以0都等於0
b．自然數都是正整數
c．每乙個向量都有大小
d．一定存在沒有最大值的二次函式
答案 d
解析 d選項是特稱命題．
3．下列命題中的假命題是( )
a．存在x∈r，lg x＝0 b．存在x∈r，tan x＝1
c．任意x∈r，x3>0 d．任意x∈r,2x>0
答案 c
解析對於a，當x＝1時，lg x＝0，正確；對於b，當x＝時，tan x＝1，正確；對於c，當x＜0時，x3＜0，錯誤；對於d，任意x∈r,2x＞0，正確．
4．用量詞符號「任意」「存在」表述下列命題：
(1)凸n邊形的外角和等於2π.
(2)有乙個有理數x0滿足x＝3.
(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)任意x∈，x的外角和是2π.
(2)存在x0∈q，x＝3.
(3)任意α∈r，sin2α＋cos2α＝1.
[呈重點、現規律]
1．判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，可以根據命題涉及的意義去判斷．
2．要確定乙個全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出乙個反例說明命題不成立，則該全稱命題是假命題．
3．要確定乙個特稱命題是真命題，舉出乙個例子說明該命題成立即可；若經過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該特稱命題是假命題．
一、基礎過關
1．下列命題：
①中國公民都有受教育的權利；
②每乙個中學生都要接受愛國主義教育；
③有人既能寫**，也能搞發明創造；
④任何乙個數除0，都等於0.
其中全稱命題的個數是( )
a．1 b．2 c．3 d．4
答案 c
解析命題①②④都是全稱命題．
2．下列特稱命題是假命題的是( )
a．存在x∈q，使2x－x3＝0
b．存在x∈r，使x2＋x＋1＝0
c．有的素數是偶數
d．有的有理數沒有倒數
答案 b
解析對於任意的x∈r，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恆成立．
3．給出四個命題：①末位數是偶數的整數能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實數x，x>0；④對於任意實數x,2x＋1是奇數．下列說法正確的是( )
a．四個命題都是真命題
b．①②是全稱命題
c．②③是特稱命題
d．四個命題中有兩個假命題
答案 c
解析 ①④為全稱命題；②③為特稱命題；①②③為真命題；④為假命題．
4．下列全稱命題中真命題的個數為( )
①負數沒有對數；
②對任意的實數a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函式f(x)＝x2－ax－1與x軸恒有交點；
知識講解 全稱量詞與存在量詞 基礎
全稱量詞與存在量詞 編稿 張希勇審稿 李霞 學習目標 1 理解全稱量詞 存在量詞和全稱命題 特稱命題的概念 2 能準確地使用全稱量詞和存在量詞符 來表述相關的教學內容 3 掌握判斷全稱命題和特稱命題的真假的基本原則和方法 4.能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定.要點梳理 要點一 全稱量詞與全稱命題...
03簡單的邏輯聯結詞 全稱量詞與存在量詞
一 基礎小題 1 命題 存在實數x，使x 1 的否定是 a 對任意實數x，都有x 1 b 不存在實數x，使x 1 c 對任意實數x，都有x 1 d 存在實數x，使x 1 答案 c 解析特稱命題的否定為全稱命題，所以將 存在 改為 任意 x 1 改為 x 1 故選c.2 下列特稱命題中真命題的個數為 ...
3全稱量詞與存在量詞教案 北師大版選修2 1
3 1 全稱量詞與全稱命題 3 2 存在量詞與特稱命題 3 3 全稱命題與特稱命題的否定 三維目標 1 知識與技能 1 通過生活和數學中的豐富例項，讓學生理解全稱量詞與存在量詞的意義 2 能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定 2 過程與方法 在使用量詞的過程中，加深對以往所學知識的理解，並通過對所學...