一、選擇題
1．(2018浙江)已知，，，成等比數列，且．若，則
ab．，
cd．，
2．(2015湖北)設，．若p：成等比數列；q： ，則
a．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
b．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
c．p是q的充分必要條件
d．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
3．（2014新課標2）等差數列的公差為2，若，，成等比數列，則的前項和=
a． b． c． d．
4．（2014浙江）設函式，，
，記，則
a． b． c． d．
二、填空題
5．(2018江蘇)已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成乙個數列．記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為 ．
6．（2015浙江）已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則
7．（2013重慶）已知是等差數列，，公差，為其前項和，若成等比數列，則．
8．（2011江蘇）設，其中成公比為的等比數列，成公差為1的等差數列，則的最小值是________．
三、解答題
9．（2018江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列．
(1)設，若對均成立，求的取值範圍；
(2)若，證明：存在，使得對均成立，並求的取值範圍（用表示）．
10*．（2017浙江）已知數列滿足：， ．
證明：當時
（ⅰ）；
（ⅱ）；
（ⅲ）．
*根據親所在地區選用，新課標地區（文科）不考．
11．（2017江蘇）對於給定的正整數，若數列滿足
對任意正整數總成立，則稱數列是「數列」．
（1）證明：等差數列是「數列」；
（2）若數列既是「數列」，又是「數列」，證明：是等差數列．
12．（2023年四川）已知數列的首項為1，為數列的前項和，，其中，
(ⅰ)若成等差數列，求數列的通項公式；
(ⅱ)設雙曲線的離心率為，且，求．
13．（2023年浙江）設數列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.
（i）求通項公式；
（ii）求數列{}的前項和.
14．(2015重慶)已知等差數列滿足，前3項和．
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設等比數列滿足，，求前項和．
15．（2015天津）已知是各項均為正數的等比數列，是等差數列，且，，．
（ⅰ）求和的通項公式；
（ⅱ）設，，求數列的前項和．
16．(2015四川)設數列（=1,2,3…）的前項和滿足，且， +1，成等差數列．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設數列的前項和為，求．
17．（2015湖北）設等差數列的公差為，前項和為，等比數列的公比為，已知，，，．
（ⅰ）求數列，的通項公式；
（ⅱ）當時，記=，求數列的前項和．
18．(2014山東）已知等差數列的公差為2，前項和為，且，，成等比數列．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）令=求數列的前項和．
19．（2014浙江）已知數列和滿足．若為等比數列，且
（ⅰ）求與；
（ⅱ）設．記數列的前項和為．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求正整數，使得對任意，均有．
20．（2014湖南）已知數列{}滿足
（ⅰ）若{}是遞增數列，且成等差數列，求的值；
（ⅱ）若，且{}是遞增數列，{}是遞減數列，求數列{}的通項公式．
21．（2014四川）設等差數列的公差為，點在函式的圖象上（）．
（ⅰ）若，點在函式的圖象上，求數列的前項和；
（ⅱ）若，函式的圖象在點處的切線在軸上的截距為，求數列的前項和．
22．(2014江蘇)設數列的前項和為．若對任意正整數，總存在正整數，使得，則稱是「h數列」．
（ⅰ）若數列的前n項和(n)，證明: 是「h數列」；
（ⅱ）設是等差數列，其首項，公差．若是「h數列」，求的值；
（ⅲ）證明：對任意的等差數列，總存在兩個「h數列」和，使得(n)成立．
23．（2013安徽）設數列滿足，，且對任意，函式 ，滿足
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若，求數列的前項和．
24．（2013廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，滿足
且構成等比數列．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）證明：對一切正整數，有．
25．（2013湖北）已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，
且.（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；
若不存在，說明理由．
26．（2013江蘇）設是首項為，公差為的等差數列，是其前項和. 記，，其中為實數.
（ⅰ） 若，且，，成等比數列，證明：；
（ⅱ） 若是等差數列，證明：．
27． (2012山東)已知等差數列的前5項和為105，且．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）對任意，將數列中不大於的項的個數記為.求數列的前m項和．
28．（2012湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50％．預計以後每年資金年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，並將剩餘資金全部投入下一年生產．設第年年底企業上繳資金後的剩餘資金為萬元．
（ⅰ）用表示，並寫出與的關係式；
（ⅱ）若公司希望經過（≥3）年使企業的剩餘資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金的值（用表示）．
29．（2012浙江）已知數列的前項和為，且=，，數列滿足，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求數列的前項和．
30．（2012山東）在等差數列中，，
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）對任意的，將數列中落入區間內的項的個數為，求數列的前項和．
31．（2012江蘇）已知各項均為正數的兩個數列和滿足：．
（ⅰ）設，求證：數列是等差數列；
（ⅱ）設，且是等比數列，求和的值．
32．（2011天津）已知數列滿足，
． （ⅰ）求的值；
（ⅱ）設，證明是等比數列；
（ⅲ）設為的前項和，證明
33．（2011天津）已知數列與滿足：，，且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設，證明：是等比數列；
（ⅲ）設證明：．
34．（2010新課標）設數列滿足
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）令，求數列的前項和．
35．（2010湖南）給出下面的數表序列：
其中表（=1,2,3）有行，第1行的個數是1，3，5，，21，從第2行起，每行中的每個數都等於它肩上的兩數之和．
（ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，並將結論推廣到表（≥3）（不要求證明）；
（ⅱ）每個數列中最後一行都只有乙個數，它們構成數列1，4，12，，記此數列為，求和： ．
第十八課數列的綜合應用全國卷文數真題彙總
答案部分
1．b【解析】解法一因為()，所以
，所以，又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選b．
解法二因為，，
所以，則，
又，所以等比數列的公比．
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選b．
2．a【解析】對命題p：成等比數列，則公比且；
對命題，
①當時，成立；
②當時，根據柯西不等式，
等式成立，
則，所以成等比數列，
所以是的充分條件，但不是的必要條件．
3．a【解析】，，成等比數列，∴，即，解得，所以．
4．b【解析】∵在上單調遞增，可得，
，…，，∴=
∵在上單調遞增，在單調遞減
∴，…，，，
，…，∴ ==
=∵在，上單調遞增，在，上單調遞減，可得
因此．5．27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列中，前面有16個正奇數，即，．當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；……；當時， = 441 +62= 503<，不符合題意；當時， =484 +62=546>=540，符合題意．故使得成立的的最小值為27．
6．【解析】由題可得，，故有，又因為，即，所以．
7．64【解析】由且成等比數列，得，解得，故．
8．【解析】設，則，由於，所以，故的最小值是．
因此，所以．
9．【解析】(1)由條件知：,．
因為對=1，2，3，4均成立，
即對=1，2，3，4均成立，
即11，13，35，79，得．
因此，的取值範圍為．
(2)由條件知：,．
若存在，使得(=2，3，···， +1)成立，
即(=2，3，···， +1)，
即當時，滿足．
因為，則，
從而，，對均成立．
因此，取=0時，對均成立．
下面討論數列的最大值和數列的最小值（）．
①當時，，
當時，有，從而．
因此，當時，數列單調遞增，
故數列的最大值為．
②設，當時，，
所以單調遞減，從而．
當時，，
因此，當時，數列單調遞減，
故數列的最小值為．
因此，的取值範圍為．
10．【解析】（ⅰ）用數學歸納法證明：
當時，假設時，，
那麼時，若，則，矛盾，故．
因此所以
因此（ⅱ）由得
記函式函式在上單調遞增，所以=0，因此故
（ⅲ）因為
所以得由得
所以 故
綜上， ．
11．【解析】證明:（1）因為是等差數列，設其公差為，則，
從而，當時，
， 所以，
因此等差數列是「數列」.
（2）數列既是「數列」，又是「數列」，因此，
當時，，①
當時，.②
由①知， ，③
，④將③④代入②，得，其中，
所以是等差數列，設其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數列是等差數列.
12．【解析】（ⅰ）由已知， 兩式相減得到.
又由得到，故對所有都成立.
所以，數列是首項為1，公比為q的等比數列.
從而.由成等差數列，可得，所以，故.
所以.（ⅱ）由（ⅰ）可知，.
所以雙曲線的離心率.
由解得.所以，
13．【解析】（1）由題意得：，則，
又當時，由，
得，所以，數列的通項公式為.
（2）設，，.
當時，由於，故.
設數列的前項和為，則.
當時，，
所以，.
14．【解析】（ⅰ）設的公差為，則由已知條件得
化簡得解得，．
故通項公式，即．
（ⅱ）由（ⅰ）得．
設的公比為，則，從而．
故的前項和 ．
15．【解析】（ⅰ）設數列的公比為q，數列的公差為d，由題意，由已知，有消去d，整數得，又因為＞0，解得，所以的通項公式為，數列的通項公式為.
第十八課翻譯
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