方程與不等式
要點歸納：
方程與不等式是高中數學的基本工具，所以是理科實驗班招生考試的必考內容，考查內容主要是以下幾個方面：不等式的性質、一元一次不等式及不等式組、拓展也考查簡單的基本不等式；方程主要考查一次方程、一元二次方程及其應用、重點考查根與係數的關係以及整數根的問題.
考查的數學方法主要有配方法、數形結合、分類討論等.
分類整合：
考點一、不等式：不等式的性質、一元一次不等式（組）、絕對值不等式、基本不等式等.
例1 解不等式：(1)；
2).例2 已知，，為非負實數，且滿足，，求的最大值與最小值.
例3 已知，，，，，，是彼此互不相等的正整數，它們的和等於159，求其中最小數的最大值.
例4 若實數，滿足，求的取值範圍.
例5 某人擬將1，2，…這個數輸入電腦求平均數，當他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入了個數，平均數為，假設這個數輸入無誤，問：未輸入的那個數是多少？
例6 已知，，2， ，2011，且，證明：，，… ，中一定存在兩個數， ，使得
.強化練習一
1.已知，則的取值範圍是
2.如果，且關於的不等式的解集為，那麼關於的不等式的解是
3.已知關於的不等式組的整數解共有6個，則的取值範圍是
4.當，，為非負時，，則的最大值為
5.若不等式無實數解，則的取值範圍是
6.已知關於的不等式的解也是不等式的解，則的取值範圍是
7.已知，，則的最小值是
8.已知為實數，則的最大值是
9.若滿足不等式的整數只有乙個，則正整數的最大值是
10.若自然數，為整數，且，則
11.不等式的整數解有組.
12.某單位花50萬元買回一台高科技裝置，根據對這種型號裝置的跟蹤調查顯示，該裝置投入使用後，若將養護和維修的費用均攤到每一天，則有結論：第天應付的養護與維修費為元.
（1）如果將該裝置從開始投入使用到報廢共付的養護與維修費及購實該裝置費用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗.請你將每天的平均損耗(元)表示為使用天數（天）的函式.
(2)按照此行業的技術和安全管理要求，當此裝置的平均損耗達到最小值時，就應當報廢，問該裝置投入使用多少天應當報廢?
考點二、一次方程(組)
例7 已知，，為實數，且滿足，求的最小值.
例8 如果，為定值，關於的方程，無論為何值它的根總是1，求，的值.
例9 已知，，… ，中每乙個數值只能取，0，1中的乙個，且滿足，且，求的值.
例10 已知，求的最大值和最小值.
強化練習二
1. 若，，是正數，則方程的解是
2.設為正整數，表示不超過的最大整數，則方程的解是
3. 已知，，三個數滿足，，，則
4.若=1，則方程的解是
5.已知方程有一負根，無正根，則的取值範圍是
6.，為有理數，且，方程有三個不相等的實數解，則
考點三、一元二次方程：主要考查一元二次方程根的概念、判別式、根與係數的關係、構造一元二次方程解題等.
例11 三個不同的實數，，，使得方程和有乙個相同的實數根，且使得方程和也有乙個相同的實數根，求的值.
例12 已知，是方程的兩個實數根，求的值.
例13 設，，為互不相等的實數，且滿足關係式
求的取值範圍.
例14 求使得關於的方程恰有乙個實數根的所有實數
例15 設，，滿足，.求證：，，中必有乙個大於.
例16 已知，，為實數，且滿足的最大值為9，最小值為1，試求的值.
強化練習三
1.對於實數，定義一種運算「」為： =，若關於的方程有兩個不同的實數根，則滿足條件的實數的取值範圍是
2.已知，，，是非零實數，和是方程的解，和是方程的解，則的值為
3.設，，，… ，為實數，且滿足
，則的值是
4.若實數，滿足，則的取值範圍是
5.若方程的兩根也是方程的根，則的值為
6.的三邊長，，滿足，，則的周長等於
7.已知實數，且滿足，.則的值為
8.如果和是非零實數，使得和，那麼等於
9.已知關於的方程有實根，並且所有實根的乘積為，則所有實根的平方和為
10．設是實數，關於的一元二次方程的兩個實數根分別為，，若，則
11.已知實數，滿足，，則的值為
12.已知，是方程的兩根，且，則的值等於
13.實數，，滿足，，則的最大值是
14.方程的實數解是
15.若關於的方程的兩個實數根分別為，，則的最小值為
16.設實數，分別滿足，，並且，則的值為
17.對自然數、作的二次方程，使它的根為則：
18.，為實數，且滿足，則
19.滿足的所有實數對，中，的最大值是
20.已知，是方程的兩根，求的值.
21.已知實數，，滿足，.
(1)求，，中最大者的最小值2)求
22.設是不小於的實數，使得關於的方程工有兩個不相等的實數根、.
(1)若，求的值2)求
23.求證：對於任意乙個矩形，總存在乙個矩形，使得矩形與矩形的周長比和面積比都等於.
24.實數，，滿足，，，求最大的實數，使得不等式恆成立.
25.實數，，滿足，且對任何實數，都有不等式
求證：，， .
考點四、分式方程及無理：主要方法是轉化為整式方程，常常需要用換元法.
例17 解方程：
例18 如果方程只有乙個實數根，求的值及方程的根.
例19 解方程.
例20 解方程
強化練習四
1.方程的解是
2.方程的解是
3.若實數，滿足，，則
4.方程組的解是
5.方程的解是
6.已知，則
7.解方程：
8.解方程：
9.已知實數，，，互不相等，且，求的值.
10.已知關於的方程僅有兩個不同的實數根，求實數的取值範圍.
11.在正實數範圍內，只存在乙個數是關於的方程的解，求實數k的取值範圍.
12.已知為整數，關於的方程有實數根，求的所有可能值.
考點五、簡單的不定方程.
例21 求滿足方程且使得是最大的正整數解，
例22 求方程的整數解.
例23 求方程
例24 求方程組的所有整數解，，
強化練習五
1.關於，的方程的所有正整數解為
2.設，且，則滿足此等式的不同整數對，有對.
3.已知，，均為整數，且恒有，則
4.已知實數，滿足方程，則的個位數字是
5.設實數，，滿足，，，則
6.方程的正整數解共有組.
考點六、一元二次方程的有理根與整數根：主要考查根與係數、配方法、引數法、因式分解等知識，是複式考查的重點內容.
例25 設為整數，使得關於的方程至少有乙個有理根， 試求方程所有可能的有理根.
例26 是否存在質數，，使得關於的一元二次方程有有理數根？
例27 已知，為正整數，關於的方程有正整數解，求，的值.
例28 已知關於的一元二次方程的兩個整數根恰好比方程的兩個根都大1，求的值.
例29 求出所有的實數，使得關於的一元二次方程的兩個根都是整數.
強化練習六
1.設整數使得關於的一元二次方程的兩個根都是整數，則的值是
2.使得是乙個整數的平方的整數共有個.
3.已知為質數，使二次方程的兩根都是整數.求出的所有可能值.
4.試確定一切有理數，使得關於的方程有根且只有整數根.
5.若關於的方程的解都是整數，試求實數的值.
6.設是正整數，如果二次函式和反比例函式的圖象有公共整點（橫座標和縱座標都是整數的點），求的值和對應的公共整點.
7.已知，都是正整數，試問關於的方程是否有兩個整數解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明.
8.已知關於的方程有兩個整數根，求所有滿足條件的實數的值.
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