目錄第一講和絕對值有關的問題
第二講有理數的巧算
第三講：整式的化簡求值問題
第四講：與一元一次方程有關的問題
第五講：列一元一次方程解應用題
第六講：豐富的圖形世界
第七講：線段和角
第八講：相交線與平行線
第九講：平面直角座標系
第十講：三角形的基本知識
第十一講：二元一次方程組及應用
第十二講：一元一次不等式
第十三講：資料的收集和整理
第一講和絕對值有關的問題
一、絕對值的意義：
1、幾何意義：一般地，數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|；
|x-a|是數軸上表示數x的點到數a的點的距離；
2、代數意義：①正數的絕對值是它的本身；②負數的絕對值是它的相反數；
③零的絕對值是零。
也可以寫成：
說明：（ⅰ）|a|≥0即|a|是乙個非負數；
（ⅱ）|a|概念中蘊含分類討論思想。
二、典型例題
例1. 已知
【思路分析】
【自主解答】
例2. 若a,b,c為整數，且，計算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。
【思路分析】
【自主解答】
例3．（數形結合思想）已知a、b、c在數軸上位置如圖：則代數式 | b-a | + | a+b | + | c-a | +|a+c|- | b-c | 的值等於=
【思路分析】
【自主解答】
例4．已知：，，且， 那麼
的值（ ）
a．是正數 b．是負數 c．是零 d．不能確定符號
【思路分析】
【自主解答】
練習題1、若( )
a. 3或13 b. 13或-13 c. 3或-3 d. -3或-13
2、已知a,b,c滿足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc<0，則代數式的值為________.
3、求滿足|a-b|+ab=1的非負整數對（a,b）的值。
4、若a,b,c,d為互不相等的有理數，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,則|a-d
5、已知且，那麼
6、如果在數軸上表示、兩上實數點的位置，如下圖所示，那麼化簡的結果等於（ ）
a. bc.0 d.
第二講有理數的巧算
【知識要點】
1、有理數的運算時初中代數中最基本的運算，在運算過程中，根據題目的結構特點靈活採用演算法和技巧，不僅可以簡化運算，提高解題速度，而且可以養成勤於動腦，善於觀察到良好習慣。
2、有理數的相關概念和性質法則
⑴有理數的運算法則 ⑵有理數的運算律及其性質
3、常用運算技巧
⑴巧用運算律 ⑵湊整法 ⑶拆項法（裂項相消） ⑷分組相約法 ⑸倒寫相加法
⑹錯位相減法 ⑺換元法 ⑻觀察**、歸納法
【典型例題】
【例1】計算下列各題
⑴ ⑵⑶ 【思路分析】(1)利用運算律把同分母的分數結合起來；
(2)逆用分配律；
(3)把積為整數的因數結合起來。
【自主解答】
【例2】用簡便方法計算：
【思路分析】每個加數都比較接近
十、百、千、萬…。利用湊整法將它們分別表示成
十、百、千、萬…與較小的數字的和(或差)然後再計算。
【自主解答】
【例3】觀察下列等式
將以上幾個等式相加（左邊相加等於右邊相加）得到
用上述方法計算：⑴
⑵【思路分析】觀察思考不難發現（1）
（2）【自主解答】
反思說明：一般地，多個分數相加減，如果分子相同，分母是兩個整數的積，且每個分母中因數差相同，可以用裂項相消法求值。
③ ④
【例4】觀察下列計算過程
計算：設用上述方法計算：
【思路分析】演算法的特點是這些加數乘以乙個常數後，得到的新的算式中絕大部分與原來的算式中的數相同，從而錯位相減消去相同的數。
【自主解答】
【例5】計算：
【思路分析】倒寫相加法。
【自主解答】
解：即原式=5050練習1
2、（第10屆「希望盃」訓練題）
3、計算：
4、計算：
5、計算：
第三講：整式的化簡求值問題
【知識要點】
1、用字母表示數
（1）用字母表示數，揭示數與數之間的本質聯絡；
（2）列代數式
（3）求代數式的值，求代數式的值一般分為化簡，代入與計算。
2、整式的有關概念及整式的加減
⑴⑵整式的加減：掌握去括號、添括號的法則，熟練進行同類項的合併。
合併同類項法則（順口溜）：說起合併同類項，法則千萬不能忘，只求係數代數和，字母、指數留原樣。
去、添括號法則：去括號、添括號，關鍵要看連線號，括號前面是正號，去、添括號不變號，括號前面是負號，去、添括號都變號。
【典型例題】
【例1】如圖是乙個有規律排列的數表，請用含的代數式（為下整數）表示表中第行第列的數為
【思路分析】數陣問題關鍵是要分析出排列的規律，仔細觀察不
難發現第行的第一列的數為，第二列的數為，以此類推
即可得解。
【自主解答】
【例2】若多項式的值與無關，
求的值.
【思路分析】多項式的值與無關，即把當成已知數，經過化簡後含的項係數均為零。從而解出的值，代入計算即可。
【自主解答】
【例3】當代數式的值為7時,求代數式的值.
【思路分析】觀察兩個代數式的係數，發現所求代數式中，只從已知條件中求出的值，從而整體代入即得所求代數式的值。
【自主解答】
【例4】時，代數式的值為8，求當時，代數式的值。
【思路分析】將和分別代入觀察兩個代數式的係數，發現兩個代數式中的項係數正好相反，即互為相反數，只要從已知條件中求出的值，從而得到的值，整體代入即可求得。
【自主解答】
【例5】三個數a、b、c的積為負數，和為正數，且，
則的值是_______ 。
【思路分析】因為abc<0，所以a、b、c中只有乙個是負數，或三個都是負數
又因為a+b+c>0，即a、b、c中至少有乙個為正數，所以a、b、c中只有乙個是負數。觀察代數式，交換a、b、c的位置，我們發現代數式不改變，這樣的代數式成為輪換式。我們說a、b、c中的任兩個具有對稱性。
不妨設a<0，b>0，c>0
則ab<0，ac<0，bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0將x=0代入要求的代數式，得到結果為1。
【自主解答】
一題多解鑑賞
【例6】已知，求的值.
分析：解法一（整體代人）：由得
所以：解法二（降次）：方程作為刻畫現實世界相等關係的數學模型，還具有降次的功能。
由，得，
所以：解法三（降次、消元）：（消元、、減項）
出乎意料的問題
【例7】（實際應用）a和b兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：a公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；b公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？
分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實際收入（元）
第一年：a公司 10000； b公司 5000+5050=10050
第二年：a公司 10200； b公司 5100+5150=10250
第n年：a公司 10000+200(n-1）；
b公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出b公司的年收入永遠比a公司多50元，如不細心考察很可能選錯。
三、練習
1、如圖是乙個有規律排列的數陣，根據你的猜想的規律，2012應該排在表中第幾行？在該行從左到右數的第幾個數？
2、若代數式的值與字母的取值無關，求代數式的值。
3、已知，
求的值。
4、設，
求（1）；（2）；（3）。
5、三個數a、b、c的積為負數，和為正數，且，
則的值是_______ 。
6、（實際應用）a和b兩家公司都準備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇有如下差異：a公司，年薪1.2萬元，每年加工齡工資720元；b公司，月薪1千元，每月加工齡工資5元。
從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？
第四講：與一元一次方程有關的問題
【知識要點】
1、解一元一次方程的一般步驟是：去分母，去括號，移項，合併同類項，係數化為1。我們在解方程時，既要會按部就班（嚴格按步驟）地進行，又要能隨機應變（靈活打亂步驟）。
2、同解方程和方程的同解原理：
（1）如果方程ⅰ的解都是方程ⅱ的解，並且方程ⅱ的解也都是方程ⅰ的解，那麼這兩個方程是同解方程。
（2）方程同解的原理ⅰ：方程兩邊同時加上（或減去）同乙個數或同乙個整式，所得的方程與原方程是同解方程，即是同解方程（其中是乙個整式）。
方程同解的原理ⅱ：方程兩邊同時乘以（或除以）同乙個不為零的數，所得的方程與原方程是同解方程，即是同解方程（其中是乙個非零常數）。
方程同解的原理ⅲ：方程是同解方程。
3、含字母係數的一元一次方程總可以化為的形式，當字母的取值範圍未給出時，則需討論解的情況，其方法是：
（1）當時，方程有唯一解；
（2）當時，方程無解；
（3）當時，方程有無數個解。
4、最簡單的絕對值方程是：。
當時，方程無解；
當時，方程的解為；
當時，方程有兩個解。
【典型例題】
【例1】若關於x的一元一次方程=1的解是x=-1，則k的值是（ ）
ab．1cd．0
【思路分析】本題考查基本概念「方程的解」；因為x=-1是關於x的一元一次方程=1的解，所以把x=-1代入方程可得關於的一元一次方程。解出即可。
【自主解答】
【例2】若方程3x-5=4和方程的解相同，則a的值為多少？
【思路分析】題**現了兩個方程，第乙個方程中只有乙個未知數x，所以可以解這個方程求得x的值；第二個方程中有a與x兩個未知數，所以在沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因為兩個方程的解相同，所以可以把第乙個方程中解得x代入第二個方程，第二個方程也就轉化為一元一次方程了。
【自主解答】
【例3】是關於的一元一次方程，且有唯一解，則= 。
【思路分析】是關於的一元一次方程，所以的係數為0，有唯一解，項係數不能為0，從而將的值算出來，再解一元一次方程即可。
【自主解答】
【例4】（含字母係數方程）解方程
【思路分析】根據題意，ab≠0，所以方程兩邊可以同乘ab化為的的形式，再根據含字母係數方程的解的情況進行討論。
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