振動與衝擊
第３１卷第２ｏ期
任意移動荷載列作用下簡支梁橋豎向振動響應解析分析
李小珍，張志俊，劉全民
（西南交通大學土木工程學院，成都６１００３１）
摘要：採用振動理論推導尤拉一貝努利梁在任意移動荷載列模型作用下其豎向振動的解析表示式。在表示式
中綜合考慮列車移動速度、所選取的振型階數、簡支梁自身的質量和剛度以及體系的阻尼比對簡支梁豎向動力響應的影
響。並用ｍａｔｌａｂ語言程式設計計算，對結果的正確性進行校核。以京滬高速線路上３２ ｍ簡支粱橋為例，分析簡支梁橋在８輛ｉｃｅ３動車編組的荷載列作用下的豎向動力響應。
計算結果表明，該方法能夠模擬橋梁在間距、大小均任意的移動荷載列作用下的豎向振動。解析結果應用於高速鐵路的初步設計及對最大振動能級進行評估時可快速得出可靠結果。
關鍵詞：簡支梁；荷載列模型；動力響應；解析表示式；例項驗證；引數分析
中圖分類號：ｕ４４１
文獻標識碼：ａ
一ｍｉｎ
ｏｆ ｔｈｅ
一對於橋梁在執行車輛作用下的振動問題的研究已
列為乙個泊松過程，得到了簡支梁橋的動力響應的時
有一百多年的歷史了 。早期的研究由於計算手段的侷限 ，將橋梁、車輛看作兩個獨立的模型，將橋梁處理成均布等截面梁，將車輛模擬為單個或多個集中力，
程和功率譜密度函式；沈銳利將車輛簡化為相同的４軸荷載列模型，並定性分析了高速鐵路線上同一型別車輛通過不同跨度簡支梁橋時的橋梁跨中撓度振動響
很多學者採用此種模型推導出了橋梁響應的解析解。
ｂｏｌｏｔｉｎ ３研究了固定間距荷載列以恆定速度通過橋梁
時橋梁的動力響應；ｋｕｒｉｈａｒａ等
假定任意間距荷載
應的計算式；ｙａｎｇ等將每節車輛簡化為前後兩個集
中力和兩個集中質量，對固定間距荷載列作用下簡支
梁橋的豎向響應進行了解析推導，對等間距質量列作用下的橋梁動力響應進行數值求解，並對兩種模型作用下橋梁的動力響應進行對比；ｓａｖｉｎ 採用先推導單個移動荷載引起的橋梁的強迫振動再疊加的方式得到
**專案：國家自然科學**計畫新世
紀優秀人才支援計畫（ｎｃｅｔ一１０—０７０１）；高等學校博士點**四川省傑出青年學術技術帶頭人計畫
西南交通大學揚華之星專案資助
收稿日期：２０１１一ｏ８—１５修改稿收到日期第一作者李小珍男，教授，博士生導師，１９７０年生
了任意間距荷載列通過橋梁時梁體的動力響應表達
式，由於各個荷載引起的響應相位不同，級數疊加很難得出較簡潔表示式；單德山推導了荷載列作用於簡
１３８振動與衝擊２０１２年第３１卷
支曲線梁橋動力響應的解析解，並與相當的直線梁的垂直位移進行了對比。
本文在前人研究的基礎上，建立了間距、大小均任
意的移動荷載列模型，推導了其通過簡支梁引起的梁體的豎向動力響應解析解。解析解可以考慮車輛移動
速度、荷載間距、系統的阻尼比、梁體自身質量及剛度
等因素對橋梁動力響應的影響。本文的目的是在進行詳細的數值研究之前，使用簡單的解析工具對列車荷載引起的動力放大時程效應以及與之相關的橋梁設計引數進行評估。
解析推導時假定：①橋梁為等截面梁體；②車輛為任意間距的移動荷載列；③組成荷載列的各個荷載
是常量；④荷載列勻速通過橋梁。
１簡支梁橋豎向振動模擬分析
１．１數學模型建立
考慮尤拉一伯努利梁模型，列車荷載簡化為一系
列具有一定問距的移動常量力。假設簡支梁為等截面
（為常數），梁體質量均勻分布（單位長度梁的質量ｍ為常數），阻尼為粘滯阻尼（即阻尼力與結構的振動速度成正比），阻尼效應和質量及剛度性質成正比，荷載列以勻速在梁上通過，梁的運動滿足小變形理論
在彈性範圍內。梁的受力模型如圖１所示。
圖１移動荷載列作用於簡支梁
圖ｌ中，各符號的含義如下：ｄｉ表示ｐ 到ｐ 的距離，則ｄ ＝０。座標系的原點位於梁的左端點處，則梁的範圍用座標表示為０ｓｆ。
令ｐ （ｔ＝０時刻）作用於 ＝０處，即初始時刻。假設荷載列以恆定的速度通過橋梁，則ｔ＝ 。
對於圖１所示移動荷載列勻速通過等截面簡支梁
橋時，根據達朗貝爾原理 。。「 可得梁的運動方程為：
＋ｍ＋ｃ
：３ｘ。ｏｔｏｔ
…川ｓ［】（１）
式中：８（ｘ— ）為ｄｉｒａｃ函式，為使荷載作用於梁上引入函式ｓ（ｋ）並定義為：
ｓ㈤＝ｆ。
式中：肼為梁截面的抗彎剛度；ｍ為梁截面單位長度的
質量；ｃ為單位長度的粘性阻尼係數，此處假定為ｒａｙ—
ｌｅｉ曲阻尼，具有振型正交性。１．２荷載列模型模態化求解
由振型疊加法 ｎ ，式（１）的解可以表達為：
（２）建立簡支梁座標系所對應的振型函式為（）＝ｓｉｎ
。將式（２）代人式（１）並兩邊同乘以（）後
對全跨積分，根據假定，梁橋的質量、剛度和阻尼均滿
足振型正交條件，則第ｎ階振型的廣義座標運動方
程為：可 （￡）＋２ｆ
式中：ｑ（ｔ）表示第ｎ階振型的廣義座標垡為簡支梁的第ｎ階固有振動頻率；ｍ ：
ｍｓｉｎ。＝警為第ｎ階振型對應的廣義質量；
為第ｎ階振型粘滯阻尼比；ｐｎ（。）為第凡階振
型對應的廣義力：
ｎ１．３移動荷載列作用下樑的響應
由ｎ個荷載組成的移動荷載列引起的梁體響應分為兩項：第一項在時間段０≤￡≤
內，梁體的響
應主要是荷載列引起的強迫振動；第二項發生於
￡＞時間段，是荷載列離開梁體以後的自由振
動。首先推導第一項，第二項的表示式可從第一項
匯出。對於任意週期荷載，可以轉化為用ｆｏｕｒｉｅｒ級數表達的形式 「 ，即：
式中：荷載頻率 ＝２了ｑ＇ｒ＝麗２，ｎ＇ｖ
，為橋梁的跨度，ｄ 為
荷載列的總長度，為荷載列的速度。對ｆｏｕｒｉｅｒ級數的係數進行求解：
號（７）
（８）其中可任意取值，為計算方便，一般取丁＝０或丁＝一
第２０期
ｒ李小珍等：任意移動荷載列作用下簡支梁橋豎向振動響應解析分析１３９
２。從式（５）可以看出，任意週期外荷載展開為ｆ。ｕｒｉｅｒ令：：
＝＝級數後，ｐ （ｔ）可以看作由乙個常量力口。及一系列頻
率為ｊ１９的簡諧荷載所組成，在工程上稱為諧波
分析。，
將式（４）分別代人式（６）（７）（８）中，得：＝，ｖ
∑ｐｉ１
。。［１一ｃ。ｓ（ｎ竹）］
（９）將式（１３）、（１４）代人式（１２）得簡捷強迫振動表示式為：
（ｆ）＝ ａｏｎ＋
＝苔ｐｉ晦［ｃｏｓ（…ｉｊｏ酬一ｓ＋
１ｎｔ，ｒｒｖ
一［ｃ。ｓ（凡訂一ｊｌｏ一＿『）一
去式（３）的自由振動表示式為：
ｑｈ，ｎ（）＝ｅ一
專去［ｓｉｎ（一 ）蛾卜
南［ｓｉｎ（… 酬圳）（１１）
ｎ取不同值時對ａ 和６進行化簡取值為：
ｒ１、奮斯
將式（１５）、式（１６）相加，得式（３）的全解 「 為：ｑ （ｔ）＝ｅ一
ａｏｎ＋
式中：０９＝ √為階有阻尼圓頻率。假設初
始時刻橋梁為靜止狀態，即用ｎ麗
４ｃｏｓ（）而。
初始條件求係數ａ 和ｂ ：
ａ ＋ ａｏｎ＋一
＝ｚａ￣ｏ：。．＝
耄ｓｉｆ＋一香（０ａ）蔓＝（二一二∞ｊ薏）＝ｌ。＋。ｂ＋去－ｊｏｂ￣．：＝０
（１８）
由於很小，忽略上式中的第一項影響，井取近似ｎ４ｚ
ｎ耵ｉ麗十口ⅳ１一ｆ盟
ｎ，ｒｉ－ｕ］１ｎ
值日蘭ｊｏ得：
，ｂｎ＝一 １（』９）
＝（）一，
則ⅳ個荷載組成的荷載列過橋時，即時，簡支梁的豎向動力響應表示式為：
經過對以上係數的求解，荷載的ｆｏｕｒｉｅｒ級數表達
ｎ＝１式已求出，利用疊加原理可以求得體系的穩態位移反應：
ａｏｎ＝
∑ｓｉｎ了ｌ＋
去 『（（１一１一））一＋（２加ｂｊ．￣ｄ３）ｊ．圭±二
）（１２）ａ０ｎ
十１ｋ十
當荷載列離開橋梁後，梁體將作自由振動，初始條件為：
（１一）＋（２
式中：２
＝）＝ｎ４ｅｉ，ｆ４
由ｎ（）．
頻率比為：
振動與衝擊
ａｏｎ２０１２年第３１卷＋耋
通過以上推導得到了荷載列通過橋梁過程中梁體的振動表示式（２０）和荷載列過橋以後梁體振動因阻尼
０（０）：寸ｆ１：。（）．
衰減的自由振動表示式（２１）。若需要計算梁體振動的加速度以及梁體的內力（彎矩和剪力），則只需要將表示式ｙ（，ｔ）對時間ｔ或位移求導即可，此處不再贅述。
ｓｉｎ（ｃｏｓ（耋（）卜
在求解０ （０）時，由於很小，忽略了作為系
數的項。
２解析解驗證
採用的梁體及車輛引數均取自文獻［７—８］中。橋
梁的跨長為ｌ＝２０ ｍ，梁體的線密度為ｍ＝３４ ０８８
將「初始條件」代人梁體的自由振動方程，則得時段簡支梁的豎向動力響應為：
ｋｇ／ｍ，梁體的彎曲剛度為選取
體系的阻尼比為 ＝２．５％。假定有５輛車過橋，每輛車有兩個軸重，每個軸重每輛車車身長
ｓｉｎ（
ｃｏｓｌ＋ｄｎ
度為ｄ＝２４ ｍ，車身前後兩個軸重間距為ｌ ＝１８ ｍ，前）＋，
後兩車相鄰軸間距為ｌ ＝６ ｍ。車輛模型見圖２。
ｂｎｎｓｉ（一）］）
式中：（２１）
圖２計算採用的車輛模型示意圖
ａｑ（０）：ｇｆ１
ｒ一±一！：（（
採用ｍａｔｌａｂ語言程式設計，選取與文獻［８］中相同的速度進行計算並繪出圖形。圖
線搬（ｇ）跨中位移時程曲線
圖３推導公式與文獻［８］曲線對比
是本文推導的解析公式對文獻［８］中的算例計算所繪的時程曲線，圖是文獻［８］中的解析公式所繪圖形。通過對相同算例的時程曲線進行對比，對文中所推導的解析計算結果進行校核。
由圖３看出橋梁和車輛的計算模型相同，荷載列移動速度也相同的情況下，無論是波形還是振幅，左、
果是可靠的。
３高速鐵路３２ ｍ簡支梁應用分析
將上節已經驗證的解析結果用於實際工程例項中，通過ｍａｔｌａｂ語言程式設計實現計算。３２ ｍ預應力混
凝土簡支箱梁在京滬高速鐵路線路中得到應用。為了評估橋梁的動力效能，西南交通大學橋梁結構振動與穩定研究室對此橋進行了車一橋耦合
右側的時程曲線幾乎完全一致。說明本文推導的計算公式在模擬移動荷載列作用下橋梁的豎向動力響應結
第２０期李小珍等：任意移動荷載列作用下簡支梁橋豎向振動響應解析分析１４１
振動分析。本文以此橋為例，該橋的單位長度質量為豎向抗彎剛度為ｅ１＝４．０５×
１０「ｎｉｌｌ
，圖５中荷載列移動位置是以荷載列的第乙個軸重剛作用在橋梁一端時為荷載位置的起始位置（０ ｍ處），以８輛ｉｃｅ３動車的荷載列完全通過橋梁時的荷
取體系的阻尼比為＝２．５％。運用推導
得出的計算公式對其豎向振動效能進行計算分析。通過改變橋梁的自身質量和剛度，分析這些引數對橋梁動力效能的影響。列車編組採用８輛ｉｃｅ３動車。
如圖４所示為ｉｃｅ３動車的四軸車輛模型，固定軸距為ａ
＝載位置為計算的終位置（２３０．２ ｍ處）。從圖５可以看出撓度值在橋梁跨中附近達到最大值，這一特點與荷載列移動位置無關。在以下的計算分析中，均取跨中位置的振動響應進行分析。
圖６為橋梁跨中位移動力放大係數隨荷載列移動速度的變化曲線。
兩鉤之距為軸重
為ｐ＝１６０ ｋｎ。
＾＿ｓ－ⅷ
ｏ ｏ ｏ
圖４ ｉｃｅ３動車四軸車輛模型
３．１討論荷載列移動速度對橋梁動力響應的影響
速度用ｍａｔｌａｂ程式設計首先繪製出ｖ＝３６０ ｋｍ時，在整
圖６動力放大係數隨荷載歹０移動速度變化圖
個橋跨範圍內的撓度隨荷載列移動位置的變化三維圖，以對橋梁總體振動特性進行全面了解。如圖５
所示。從圖６中可以直**出在和ｖ＝
的速度下橋梁跨中動力響應有「突大」現象，說明橋梁豎向動力響應與荷載列移動速度不呈簡
１ ｌ １
姜單的線性關係。實際中，應避免列車以這些對應橋梁豎向動力響應「突大」的速度在橋上執行。當速度達到ｖ＝５６１ｋｍ／ｈ時，橋梁豎向振動達到「共振」。
當然在實際運營時，橋上的列車達到這個速度的可能性和必要
性都很小，但了解共振速度範圍對於橋梁設計者而言
是必要的。
圖５豎向撓度三維圖
圖７中分別取了荷載列在兩種不同移動速度下橋梁跨中的豎向位移和豎向加速度響應進行對比。１呂ｌ
蠶囊：０＂
ｋ－．幽。０
荷載列位置 ×１０ｖｍ荷載列位置 ×１０ｖｍ
（ａ）位移時程曲線（ｂ）加速度時程曲線
圖８不同梁體質量情況下跨中撓度曲線對比圖
圖７不同速度下跨中豎向撓度、加速度對比圖
圖７（ａ）、（ｂ）中曲線的共同點在於，當荷載列離開橋梁後，橋梁均做響應衰減的自由振動。在不同速度
下，橋梁振動的幅值和波形以及振動的頻率都不同。由圖７（ａ）可見，荷載列移動速度時的跨
ｌ４２振動與衝擊２０１２年第３ｌ卷
中撓度響應比時大，說明時橋梁的動力響應更大。圖７（ｂ）中對三個不同速度下
的跨中加速度曲線進行了對比。可看出時的加速度響應比和時均
大。當荷載列以過橋時，梁體跨中的加速度變化幅度很大，當荷載列離開橋梁後，梁體跨中的加速度從幅值較大的振動衰減。從圖６和圖７的分析可
得到荷載列移動速度對梁體振動的影響關係。３．２橋梁自重和剛度引數對其動力響應影響
討論橋梁自身引數（自重和剛度）變化對橋梁響應的影響。在圖８和圖９中均以荷載列移動速度為的時程曲線為例。梁體質量變化對其撓度響應的影響如圖８所示。
圖８中將梁體質量分別縮小一倍和放大一倍進行對比。從圖中可以看出，三條時程曲線的振動頻率相當，這是由於三條曲線的外荷載頻率相同，不同之處在
於三條曲線對應的梁體自身質量不同。橋梁自身質量越小，自振頻率越大，振幅越小。
梁體剛度變化對其撓度響應的影響如圖９所示。
｜圖９不同梁體剛度情況下跨中撓度曲線對比圖
圖９中對比了三種不同剛度下橋梁的振動情況。
可以看出，剛度越大，振動強度越弱。通過圖８和圖９的對比看出橋梁自身引數對其振動效能影響顯著，在實際應用中，可以通過合理減輕自重、適當增大梁體剛度以減小橋梁的動力響應。之外，用推導的解析式還可以討論任何時刻，不同阻尼情況下，橋梁任意位置處的任意階振型的動力響應，在此就不再一一舉例。
在實際應用中，根據不同的需求，對橋梁和荷載列的引數進行相應調整和設定，就可以得出相應的動力響應
結果。４結論
（１）建立了任意荷載列作用下簡支梁橋的動力分析模型，用振型疊加法把耦合的振動方程解耦得到一系列獨立的廣義座標表示的運動方程，再將荷載展開
成離散頻率諧振荷載分量的ｆｏｕｒｉｅｒ級數。對各項諧振荷載作用下的橋梁響應進行求解，再疊加得到橋梁的豎向動力響應。
（２）採用文中所推導的理**式計算文獻［１２］中
３３呂ｇ２２
善ｌ譬壬留０ｏ．
的車一橋模型，並與該文獻中相應的時程圖進行對比，對文中所推導的解析公式進行校核，由於時程圖的波
形和峰值均與文獻中的時程圖吻合較好，所推導的計算公式得到驗證。
（３）由文中所推解析解分析京滬高速鐵路上３２ ｉｎ簡支梁橋在８輛ｉｃｅ３動車編組的荷載列作用下的橋
梁豎向動力響應特點。通過改變引數，討論了荷載列
移動速度、梁體自身質量和剛度等引數變化時，對橋梁豎向動力響應的影響。通過解析解對例項的計算，對
解析解的引數敏感性進行了分析。
參考文獻
［１］李小珍．高速鐵路列車一橋梁系統耦合振動理論及應用研
究［ｄ］．成都：西南交通大學，２０００．
［２］李小珍，強士中．列車一橋梁耦合振動研究的現狀與發展
趨勢［ｊ］．鐵道學報
［６］沈銳利．高速鐵路簡支梁橋豎向振動響應研究［ｊ］．中國
鐵道科學
［９］單德山，李喬．荷載列作用下簡支曲線梁的動力響應
［ｊ］．重慶交通學院學報
［１０］李國豪．橋梁結構穩定與振動（修訂版）［ｍ］．北京：中國
鐵道出版社
［１１］克拉夫ｒ，彭津ｊ著，王光遠，等譯校．結構動力學第２版
（修訂版）［ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．
4豎向荷載作用下框架內力計算
豎向荷載作用下，一般選取平面結構單元，按平面計算簡圖進行內力分析，根據結構布置和樓面荷載分布情況，本設計取6軸線橫向框架進行計算，本設計中所有板均為 雙向板，為了簡化計算，對板下部斜向塑性絞線與板邊的夾角可近似取45 角，由於框架柱的間距不相等，通過主梁和次梁對板的劃分不同，計算單元寬度應按照各個板...
7豎向荷載作用下框架的內力分析
1 關於分層法 1 基本原理 假定作用在某一層框架梁上的荷載 豎向的 只對本樓層的梁及與本層梁相連的框架柱產生彎矩和剪力，而對其他樓層的框架梁及隔層的框架柱都不產生彎矩和剪力。2 修正 由於除底層外，其餘各層柱端並非如該方法所假設的完全固端 有轉角產生 對此應做以下修正 a 除底層以外的其他各層柱的...
第五章豎向荷載作用下內力計算
梁的固端彎矩依據以下公式 圖3 1計算簡圖 公式5 1 公式5 2 集中荷載偏心引起的固端彎矩構成節點不平衡彎矩公式5 3 因此，公式5 4 框架梁彎矩計算採用彎矩二次分配法，根據梁柱的相對剛度，可計算出各個節點的彎矩分配係數，式中ic ib分別是節點處柱和梁的線剛度。頂層 a柱節點處 b柱節點處 ...