2017—2018學年高二數學第一學期期中考試模擬試卷（八）（文科）
一、單項選擇題（本大題共12小題每小題5分，計60分）
1．已知命題p：「x∈r，ex﹣x﹣1≤0」，則命題￢p（ ）
a．x∈r，ex﹣x﹣1＞0 b．xr，ex﹣x﹣1＞0
c．x∈r，ex﹣x﹣1≥0 d．x∈r，ex﹣x﹣1＞0
2．拋物線y=﹣4x2的焦點座標為（ ）
a．（﹣1，0） b．（0，﹣1） c． d．
3．若a∈r，則「a2＞a」是「a＞1」的（ ）條件．
a．充分不必要 b．必要不充分
c．充要 d．既不充分也不必要
4．橢圓=1的離心率為，則k的值為（ ）
a．﹣21 b．21 c．﹣或21 d．或21
5．設條件p：|x﹣2|＜3，條件q：0＜x＜a，其中a為正常數，若p是q的必要不充分條件，則a的取值範圍是（ ）
a．（0，5]b．（0，5） c．[5，+∞） d．（5，+∞）
6．已知雙曲線的左頂點為a1，右焦點為f2，p為雙曲線右支上一點，則的最小值為（ ）
a．﹣4 b． c．1d．0
7．已知對k∈r，直線y﹣kx﹣1=0與橢圓恒有公共點，則實數m的取值範圍是（ ）
a．（1，2]b．[1，2） c．[1，2）∪（2，+∞） d．（2，+∞）
8．下列命題錯誤的是（ ）
a．命題「若x2＜1，則﹣1＜x＜1」的逆否命題是「若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1」
b．若p：＜0，則p：≥0
c．命題p；存在x0∈r，使得x02+x0+1＜0，則p；任意x∈r，使得x2+x+1≥0
d．「am2＜bm2」是「a＜b」的充分不必要條件
9．過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點f且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第
一、四象限分別交於a、b兩點，則的值等於（ ）
a．5 b．4 c．3 d．2
10．橢圓ax2+by2=1與直線y=1﹣x交於a、b兩點，過原點與線段ab的中點的直線斜率為，則的值為（ ）
a． b． c． d．
11．我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對「相關曲線」．已知f1，f2是一對相關曲線的焦點，p是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當∠f1pf2=60°時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為（ ）
a． b． c． d．
12．已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是f1，f2，過f2的直線交雙曲線的右支於p，q兩點，若|pf1|=|f1f2|，且3|pf2|=2|qf2|，則該雙曲線的離心率為（ ）
a． b． c．2 d．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．若「m≤a」是「方程x2+x+m=0有實數根」的充分條件，則實數a的取值範圍是 ．
14．已知兩定點b（﹣3，0），c（3，0），△abc的周長等於16，則頂點a的軌跡方程為 ．
15．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2公尺，水面寬4公尺，水位下降2公尺後水面寬公尺．
16．已知a，d分別是橢圓=1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，點p是線段ad上的任意一點，點f1，f2分別是橢圓的左，右焦點，且的最大值是1，最小值是﹣，則橢圓的標準方程 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應在答題紙對應區域內寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17．設命題x+2cosx﹣a=0；命題q：x∈r，使得x2+2ax﹣8+6a≥0，如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數a的取值範圍．
18．設p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：實數x滿足
（ⅰ）若a=1，p且q為真，求實數x的取值範圍；
（ⅱ）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值範圍．
19．已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m．
（1）當直線與橢圓有公共點時，求實數m的取值範圍．
（2）求被橢圓截得的最長弦所在直線方程．
20．設a、b分別為雙曲線的左右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交於m、n兩點，且在雙曲線的右支上存在點d，使，求t的值及點d的座標．
21．已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率是．
（1）若點p（2，1）在橢圓上，求橢圓的方程；
（2）若存在過點a（1，0）的直線l，使點c（2，0）關於直線l的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值範圍．
22．已知過點（2，0）的直線l1交拋物線c：y2=2px於a，b兩點，直線l2：x=﹣2交x軸於點q．
（1）設直線qa，qb的斜率分別為k1，k2，求k1+k2的值；
（2）點p為拋物線c上異於a，b的任意一點，直線pa，pb交直線l2於m，n兩點， =2，求拋物線c的方程．
參***
一、單項選擇題
1． a 2． d．3． b．4． c．5． a．6． a．7． c．8． b．9． c．
10． d．11． a．12． a．
二、填空題
13．解：若方程x2+x+m=0有實數根，
則△=1﹣4m≥0，解得：m≤，
若「m≤a」是「方程x2+x+m=0有實數根」的充分條件，
則實數a的取值範圍是：；
故答案為：a≤．
14．解：由題意，可得bc+ac=10＞ab，故頂點a的軌跡是以a、b為焦點的橢圓，除去與x軸的交點．
∴2a=10，c=3∴b=4，故頂點c的軌跡方程為，
故答案為：．
15．解：如圖建立直角座標系，設拋物線方程為x2=my，
將a（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入b（x0，﹣4）得x0=2，
故水面寬為m．
故答案為：．
16．解：由題意的最大值是1，可得a2﹣c2=1，即b=1，
∴ad的方程為y=+1，
設p（x，y）（﹣a≤x≤0），
則=（x+c，y）（x﹣c，y）=x2﹣c2+y2=（1+）（x+）2﹣
∵的最小值是﹣，
∴﹣=﹣，
∴a=2，b=1，
所求的橢圓的方程為： +y2=1．
故答案為： +y2=1．
三、解答題
17．解：設t=cosx，
∵，∴t∈[0，1]，
則有t∈[0，1]，使a=t2+2t成立，
∵t∈[0，1]時，t2+2t∈[0，3]，
∴p為真時a∈[0，3]，
∵x∈r，x2+2ax﹣8+6a≥0成立，
∴△≤0，即a2﹣6a+8≤0，
∴a∈[2，4]，
∴q為真時a∈[2，4]，
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p，q乙個真乙個假
當p真q假時，a∈[0，2），
當p假q真時，a∈（3，4]，
∴實數a的取值範圍是[0，2）∪（3，4]．
18．解：（ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
當a=1時，解得1＜x＜3，即p為真時實數x的取值範圍是1＜x＜3．
由，得：2＜x≤3，即q為真時實數x的取值範圍是2＜x≤3．
若p且q為真，則p真且q真，
所以實數x的取值範圍是2＜x＜3．
（ⅱ） p是q的必要不充分條件，即q推出p，且p推不出q，
設a=，b=，則b是a的真子集，
又b=（2，3]，當a＞0時，a=（a，3a）；a＜0時，a=（3a，a）．
所以當a＞0時，有，解得1＜a≤2，
當a＜0時，顯然a∩b=，不合題意．
所以實數a的取值範圍是1＜a≤2．
19．解：（1）由得5x2+2mx+m2﹣1=0，
當直線與橢圓有公共點時，△=4m2﹣4×5（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥0，
解得﹣，
所以實數m的取值範圍是﹣；
（2）設所截弦的兩端點為a（x1，y1），b（x2，y2），
由（1）知，，，
所以弦長|ab|====，
當m=0時|ab|最大，此時所求直線方程為y=x．
20．解：（1）由實軸長為，得，
漸近線方程為x，即bx﹣2y=0，
∵焦點到漸近線的距離為，
∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，
∴雙曲線方程為：；
（2）設m（x1，y1），n（x2，y2），d（x0，y0），則x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，
由，∴y1+y2=﹣4=12，
∴，解得，∴t=4，
∴，t=4．
21．解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率是，點p（2，1）在橢圓上，
∴，∴a2=8，b2=2，
∴橢圓的方程為；
（2）依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：y=k（x﹣1）．
設點c（2，0）關於直線l的對稱點為c′（a，b），則，
∴，，若點c′（a，b）在橢圓上，則，
∴b2k4+（2b2﹣4）k2+（b2﹣1）=0，
設k2=t，因此原問題轉化為關於t的方程b2t2+（2b2﹣4）t+（b2﹣1）=0有正根．
①當b2﹣1＜0時，方程一定有正根；
②當b2﹣1≥0時，則有，
∴b2≤
∴綜上得0＜b≤．
又橢圓的焦距為2c=2b，
∴0＜2c≤4．
故橢圓的焦距的取值範圍是（0，4]
22．（1）解：設直線ab的方程為x=ky+2，
聯立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，
設a（x1，y1），b（x2，y2），則y1+y2=2pk，y1y2=﹣4p，
∴x1x2==4，x1+x2=k（y1+y2）+4=2pk2+4，
∵q（﹣2，0），
∴k1=，k2=
∴k1+k2=+===
==0（2）由（1）可得，直線oa，ob的斜率互為相反數，則有ab⊥x軸，此時k=0
∵點p為拋物線c上異於a，b的任意一點，不妨取p（0，0），
設m（﹣2，a），n（﹣2，b），
∵=4+ab=2，
∴ab=﹣2，
∵kpa=kpm，kpn=kpb，
∴，，兩式相乘可得，，
∴，∴p=，拋物線c的方程為：y2=x．
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