第一章質點運動學
1-1.質點運動學方程為(si),求時的速度和加速度 (寫出正交分解式)
解： ，當時， ；，當時，
1-2．一質點沿直線運動，其座標與時間有如下關係（si）（a、皆為常數），求任意時刻質點的速度和加速度。
解：，1-3．一質點運動的加速度為（si），其初始速度與初始位矢均為0，求：（1）則時該質點的速度；（2）該質點的運動方程。
解： ，當時，
，運動方程為，
1-4.乙個質點在軸上作直線運動，運動方程為（si），求：（1）任意時刻質點的速度和加速度；（2）在和時刻，質點的位置、速度和加速度；（3）在到時間內，質點的平均速度和平均加速度。
(1)由速度和加速度的定義式，可求得
(2) t=2s時，
t=3s時， ，
(3) ，
1-5 一公升降機以加速度上公升，在上公升過程中有一螺釘從天花板上鬆落，公升降機的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。
解：以地面為參照系，座標如圖，公升降機與螺絲的運動方程分別為
1）2）3）
解之1-6. 路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動，並求其速度.
證明：設人從o點開始行走，t時刻人影中足的座標為，人影中頭的座標為，由幾何關係可得
而所以，人影中頭的運動方程為
人影中頭的速度
1-7. 一質點沿直線運動，其運動方程為(m)，在 t從0秒到3秒的時間間隔內，則質點走過的路程為多少？
解： 若解的
1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(假設小球碰斜面前後速度數值相等，碰撞時人射角等於反射角
解：小球落地時速度為
建立直角座標系，以小球第一次落地點為座標原點如圖
1）2）
第二次落地時
所以1-9. 飛機以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標上，問：投放物品時，駕駛員看目標的視線和豎直線應成什麼角度?此時目標距飛機下方地點多遠?
解：設此時飛機距目標水平距離為有：
聯立方程解得：
1-10. 設將兩物體和分別以初速和拋擲出去．與水平面的夾角為；與水平面的夾角為，試證明在任何時刻物體相對物體的速度是常向量。
解：兩個物體在任意時刻的速度為
與時間無關，故相對物體的速度是常向量。
1-11. 一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動，物體初速為，而氣球以速度勻速上公升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？
物體在任意時刻的速度表示式為
故氣球中的觀察者測得物體的速度
代入時間t可以得到第二秒末物體速度
第三秒末物體速度
第四秒末物體速度
1-12. 一飛行火箭的運動學方程為：，其中b是與燃料燃燒速率有關的量，為燃氣相對火箭的噴射速度。求：（1）火箭飛行速度與時間的關係；（2）火箭的加速度。
解：（1）
（2）1-13. 質點的運動方程為：式中為正的常量。求：（1）質點運動的軌道方程；（2）質點的速度大小；（3）質點的加速度大小。
解：（1）軌道方程為
這是一條空間螺旋線
（2）（3）1-14. 一船以速率沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率沿直線向北行駛，求在船上看小艇的速率。
解：依據
第二章牛頓定律
2-1. 如圖所示，水平面上放有質量為的物體，其與地面間的摩擦係數為，在一恒力的作用下向右作直線運動，為使物體獲得最大水平加速度，求力與水平面的夾角。
解：x軸上的合力
y軸上的合力
。推出時，加速度最大，即
2-2.如圖所示，物體a的質量為物體b的質量的一半，它們之間用一輕質彈簧相連。用一細繩將a吊在天花板上，a、b處於靜止狀態。
若此時將細繩燒斷，則在繩斷的瞬間物體a和物體b的加速度。
解：a、b處於靜止狀態時，彈簧的彈力為。細繩剛燒斷時彈簧的長度尚未發生變化，因此彈力未變，物體a的受力如圖，合力，所以加速度為；物體b的受力如圖，合力，所以加速度為
2-3如圖所示，和與地面間的摩擦係數分別是、，將兩物體並在一起構成連體，則此連體與地面間的摩擦係數為多少？
解： 和一起滑動時的摩擦力
，所以2-4. 已知一質量為的質點在軸上運動，質點只受到指向原點的引力作用，引力大小與質點離原點的距離的平方成反比，即，是比例常數．設質點在時的速度為零，求質點在處的速度的大小。
解：由題意和牛頓第二定律可得：
再採取分離變數法可得： ，
兩邊同時取積分，則：
所以：2-5. 如圖，用質量為的板車運載一質量為的木箱，車板與箱底間的摩擦係數為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動？
解：根據題意，要使木箱不致於滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式：
可得：2-6. 如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦係數為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的範圍。
解：在斜面具有不同的加速度的時候，木塊將分別具有向上和向下滑動的趨勢，這就是加速度的兩個範圍，由題意，可得：
（1） 當木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），
（2） 列式為：
可計算得到：此時的
（3） 當木快具有向上滑動的趨勢時，
（4） 列式為：
可計算得到：此時的
所以2-7. 圓柱形容器內裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度勻速轉動，試問穩定旋轉時液面的形狀如何？
解：受力分析如圖
（1）2） 兩式相比
當時所以
穩定旋轉時液面是乙個拋物面
2-8. 質量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動，劈形物質量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放後兩物體的加速度及它們的相互作用力。
解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發現方程完備性不夠，即未知數比方程數多，關鍵在於，m1與m2的運動有聯絡的，m1沿地面運動，m2沿斜面運動，這就是約束條件。取地面作為參考係，則m2的運動為：
1）2）
m1的運動方程為3）
下面列出約束條件的方程：取m1作為參考係，設m2在其中的相對加速度為，在x,y方向的分量分別為與，那麼：
利用相對運動的公式，
所以：於是：
即4）由（1）（2）（3）（4）聯立，計算可得：
； 相互作用力n=
2-9. 一小環套在光滑細桿上，細桿以傾角繞豎直軸作勻角速度轉動，角速度為，求：小環平衡時距杆端點的距離.
解：根據題意，當小環能平衡時，其運動為繞z軸的圓周運動，所以可列式：
所以，可得：
2-10. 在光滑的水平面上設定一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內壁運動，摩擦係數為，在時，球的速率為，求任一時刻球的速率和運動路程。
解：在法向上有而
在切向上有
由上面三個式子可得
第三章動量守恆定律和能量守恆定律
3-1. 一物體所受的力為，求自至時間內力的衝量。
解： 3-2.一質量為m=1kg的物體作斜拋運動，初速度，仰角。如果忽略空氣阻力，求物體從拋出點到最高點這一過程中所受外力的衝量大小及方向。
解：物體上公升到最高點所用時間，外力的衝量即重力的衝量，為，衝量的方向與重力的方向相同，向下。
3-3.質量為的質點在平面內運動，其位置向量為，求質點的動量。
解：根據動量的定義：
3-4. 自動步槍連發時每分鐘可射出120發子彈,每顆子彈質量為7.9g,出口速率為735m/s,求射擊時所需的平均力。
解： 3-5. 中子的發現者查德威克於2023年通過快中子與氫核、氮核的對心彈性碰撞發現氫核的反衝速度為，氮核的反衝速度為，已知氫核的質量為，氮核的質量為，試推算中子的質量及其初速度。
解：根據彈性碰撞遵循的規律，可得到以下兩個式子：
代入已知量，可得：m=1.159u，
3-7. 一彈簧並不遵守胡克定律，其彈力與形變的關係為，其中和單位分別為和．（1）計算當將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功；（2）此彈力是否為保守力?
（1）由做功的定義可知：
（2）由計算結果可知，做功與起點和終點的位置有關，與其他因素無關，所以該彈力為保守力。
3-8. 一質量為的物體，在力的作用下，由靜止開始運動，求在任一時刻此力所做功的功率為多少。
解：要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意：
所以功率為：
3-9. 輕彈簧的上端固定，下端懸掛質量為的重物。已知彈簧原長為，勁度係數為，重物在點達到平衡，此時彈簧伸長了，如圖所示。
取軸向下為正，且座標原點位於：彈簧原長位置；力的平衡位置。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，試分別計算重物在任一位置時系統的總勢能。
解：（1）取彈簧原長位置為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，則重物在任一位置（座標設為）時系統的總勢能：
（2）取彈簧原長位置為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，則重物在任一位置（座標設為）時系統的總勢能：
所以3-10. 在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質量分別為和，彈簧勁度係數為，原長為．用力推，使彈簧壓縮，然後釋放。求：
（1）當與開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之後．還能往前移動多遠?
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