《場論與復變函式》教學大綱
課程編號：sc2123009
課程名稱：場論與復變函式英文名稱：theory of field and complex function
學分/學時：3/48課程性質：必修課
適用專業：電子，資訊，機電建議開設學期：3
先修課程：《高等數學開課單位：機電工程學院自動化/電氣/測控系
一、課程的教學目標與任務
《場論與復變函式》是工科電子技術類專業教學計畫中的一門重要基礎課，也是一門工具課程。本課程的設立，一方面對於學生建立良好的數學基礎及學習其它課程有所幫助，另一方面，增強學生解決實際問題的能力。
通過本課程的學習，要求：(一) 引導學生理解復變函式與數學分析的聯絡與區別、相同與不同，從而誘導學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，為學生掌握復變函式在自然科學和工程技術中的應用打下基礎。(二) 要求學生掌握向量分析與場論方面的有關基本理論，並學會應用所學知識解決所從事專業及在科學、工程技術中實際問題。
二、課程具體內容及基本要求
復變函式（30學時）
(一) 複數與復變函式 ( 4學時)
複數發展史略；複數的定義及運算；面上的點集；復球面與無窮遠點；復變函式。
1.基本要求
理解複數、區域、單連通區域、復連通區域、按段光滑曲線、無窮遠點、擴充復平面等概念。理解複數的性質、會應用模和輻角的性質，會作點集的圖形。進一步認識複數域的結構，並聯絡中學的複數教學。
2.重點、難點
重點：復變函式概念，復變函式的極限、連續。
難點：無窮遠點及無窮遠點鄰域，用不等式表示區域。
(二) 解析函式(5學時)
解析函式的概念；調和函式；初等函式。
1.基本要求
理解導數、解析函式的定義、性質及充要條件；理解函式在一點解析與函式在一點可導的區別；熟練掌握利用c—r條件判別解析函式的方法；熟練掌握已知解析函式的實部或虛部，求該解析函式的方法。
2.重點、難點
重點：解析函式的定義，解析函式的充要條件及c—r條件、指數函式與指數函式的定義及其主要性質。
難點：從已知的調和函式求其共軛調和函式
(三) 復變函式的積分(5學時)
復積分的概念、性質和計算；柯西積分定理；單連通區域的柯西積分定理、復連通區域的柯西積分定理；柯西積分公式與高階導數公式；柯西積分定理與積分公式的應用；柯西不等式、不定積分、牛頓—萊不尼茲公式。
1.基本要求
理解復積分的概念；理解柯西積分定理和柯西積分公式以及高階導數公式，認識以上定理和公式的作用，知道證明方法；熟練掌握利用柯西積分定理和積分公式計算函式的各種積分。
2.重點、難點
重點：柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數公式。
難點：計算非解析函式沿積分路徑為非閉曲線的積分。
(四) 級數( 6學時)
復級數的基本概念；冪級數； 解析函式的泰勒展式；唯一性定理；羅朗級數；孤立奇點；解析函式在無窮遠點的去心鄰域內的性質。
1.基本要求
理解一致收斂、內閉一致收斂、冪級數、泰勒展式、收斂半徑、收斂圓的概念；理解復變函式項級數的逐項可導性，與微積分學的相應定理比較認識其條件結論的強弱；熟練掌握冪級數收斂半徑和收斂圓的求法；熟練掌握將函式在指定點展成冪級數的方法；數量掌握解析函式零點和級別的求法。理解羅朗級數、孤立奇點可去奇點、極點、本性奇點的概念；熟練掌握求函式在孤立奇點去心鄰域上的羅朗展式；熟練掌握判斷奇點類別的方法。
2.重點、難點
重點：冪級數的收斂圓及收斂半徑的求法；將函式在一點展成冪級數的方法；解析函式的唯一性定理；將函式展成羅朗級數的方法；判別孤立奇點的方法；解析函式在其孤立奇點去心鄰域內的性質。
難點：利用已知的基本初等函式的展式將函式在指定點展成泰勒級數；孤立奇點類別的識別；將函式在其孤立奇點去心鄰域內展成羅朗級數。
(五) 留數理論及其應用( 6學時)
解析函式的映照性質；分式線性變換；幾個初等函式的映照性質；黎曼定理及邊界對應定理。
1.基本要求
理解留數的定義；熟練掌握計算留數的方法；理解留數基本定理，會用留數理論計算積分。
2.重點、難點
重點：計算留數的方法；留數基本定理。
難點：函式在無窮遠點留數的計算。
(六) 保形變換 ( 6學時)
留數的概念與計算；留數基本定理；留數在計算某些實積分中的應用；輻角定理。
1.基本要求
理解導數的幾何意義及保形映照、分式線性映照、保圓性、對稱點等概念；掌握分式線性映照的性質和幾個典型映照；理解常見的映照性質；會求將區域d對映為g的保形映照。
2.重點、難點
重點：分式線性變換。
難點：已知區域d與g，求將d對映為g的保形映照。
場論部分
第一章向量分析(8學時)
本章是本篇的基礎，包括矢性函式的概念、矢性函式的導數與微分、矢性函式的積分。
重點：矢性函式的導數與微分、矢性函式的積分。
難點：矢性函式的求導與微分。
第二章場論(8學時)
本章是本篇的重點，包括場、數量場的方向導數和梯度、向量場的通量及散度、向量場
的環量及旋度、幾種重要的向量場(有勢場、管形場、調和場)。
重點：數量場的方向導數及梯度、向量場的通量及散度、向量場的環量及旋度。
難點：數量場梯度的求解應用、向量場散度和旋度的。
三、教學安排及方式
總學時48學時，理論及習題授課48學時，實驗（或上機或多種形式教學）0學時。
四、本課程對培養學生能力和素質的貢獻點
本課程圍繞測控技術與儀器專業人才培養的專業工程素質教育目標，重在培養學生的數學抽象能力，注重實數域與複數域的聯絡，鞏固和加強數學中解析函式、計數展開知識，建立留數、保形影射的概念，為相關專業知識的學習打下堅實的數學基礎。
五、考核及成績評定方式
（以下為示例）
最終成績由平時成績（20%）和期末成績綜合而成。各部分所佔比例如下：
平時作業成績：15%。主要考核對每堂課知識點的複習、理解和掌握程度。
到課點名：5%。
期末考試成績：80%。書面考試形式。題型為：選擇題、填空題、簡答題和綜合題等。
六、教材及參考書目
教材：1. 工程數學《復變函式》(第四版)，西安交通大學高等數學教研室編，高等教育出版社，2023年5月第4版；
2. 謝樹藝編《向量分析與場論》（第三版），北京：高等教育出版社，2023年。
參考書：
1. 《復變函式》.孫利祥主編，復旦大學出版社，2023年；
2. 《復變函式》（第三版），余家榮，高等教育出版社，2023年；
3. 復變函式》. 路見可，鐘壽國等，武漢大學出版社，2023年；
4. 謝樹藝編《向量分析與場論學習指導書》（第三版），北京：高等教育出版社，2023年。
七、說明
（一）與相關課程的分工銜接
本課程是一門工程基礎課，必須先修《高等數學》、《線性代數》，後續課程為《訊號與系統》、《電磁學》、《電動力學》、《流體力學》、《自動控制》等，為後續課程提供數學工具，有助於學生深刻理解訊號與系統、自動控制等專門知識。
（二）其他說明
（執筆人：付小寧審核人：趙建）年月日
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