1-2a 圖1-3為液位控制系統的示意圖，試說明其工作原理並繪製系統的方框圖。
說明液位控制系統是一典型的過程
控制系統。控制的任務是：在各種擾動的
作用下盡可能保持液面高度在期望的位置
上。故它屬於恆值調節系統。現以水位控
制系統為例分析如下。
解分析圖1-3可以看到：被控量為水位
高度h（而不是水流量q2或進水流量q1）；
受控物件為水箱；使水位發生變化的主要
原因是用水流量q2，故它為系統的負載擾
動；而進水流量q1是用以補償用水流量的
改變，使水箱的水位保持在期望的位置上的
控制作用；控制進水流量的使由電動機驅動的閥門v1，故電動機-減速器-閥門v1一起構成系統的執行機構；而電動機的供電電壓ud取決於電位器動觸點與接零點之間的電位差，若記接零點與電位參考點之間的電壓為ug，則它便是系統的給定訊號，記動觸點與電位參考點之間的電壓為uf，而ud=ug-uf，故uf為負反饋訊號。於是可繪製系統方框圖，如圖1-4所示。
系統的調節過程如下：調整系統和進水閥v1的開度使系統處於平衡狀態，這時進水流量q1和額定的用水流量q2保持動態平衡，液面的高度恰好在期望的位置上，而與浮子槓桿相聯接的電位器動觸頭正好在電位器中點（即接零點）上，從而ud＝0電動機停止不動；當用水流量發生變化時，比如用水流量增大使得液面下降，於是浮子也跟著下降，通過槓桿作用帶動電位器的動觸點往上移，從而給電動機電樞提供一定的電壓，設其極性為正的(即ud>0),於是電動機正轉，通過減速器驅動閥門v1增大其開度。
例1.7圖1-14是倉庫大門自動控制系統原理圖。
（1） 說明系統自動控制大門開閉的工作原理；
（2） 畫出系統方框圖。
解：（1）工作原理：當合上開門開關時，電位器橋式測量電路產生乙個偏差電壓訊號。
此偏差電壓經放大後，驅動伺服電動機帶動絞盤轉動，使大門向上提起。與此同時，與大門連在一起的電位器電刷上移，使橋式測量電路重新達到平衡，電動機停止轉動，開門開關自動斷開。反之，當合上關門開關時，伺服電動機反向轉動，帶動絞盤轉動使大門關閉，從而實現遠距離自動控制大門開啟的要求。
(2)倉庫大門自動控制系統原理方框圖：
第二章系統的數學模型
2-1a 試證明圖2-1(a)所示電氣網路與圖2-1(b)所示的機械系統具有相同的傳遞函式。
解：對於圖（a）所示的電氣網路，其傳遞函式，可以求得為
1)而圖(b)所示的機械系統的運動方程
2)3)
假設初始條件為零對上述二個微分方程進行拉氏變換得到
4)5)
從(4)(5)兩個方程中消去y（s）得到
即6)因此，
比較式（1）與式（7）可知，兩個系統傳遞函式相同，且兩系統變數間有如下相似對應關係
電壓u 對應位移x
電阻r 對應粘滯阻尼係數b
電容c 對應彈性係數得倒數1/k
2-2a 圖2-2是乙個轉速控
制系統，輸入量是電壓u，
輸出量是負載的轉速ω,畫
出系統結構圖，並寫出輸入
輸出間的數學表示式。
解：1 列出各部分的微分方程
1）2}ω
3) md=kmia
4），為電磁力矩與負載力矩
2 對上面的方程組進行拉氏變換，並畫出系統結構圖如圖2-3所示
1）2）eb(s)=keω(s)
3）md(s)=kmia(s)
4）3消除中間變數，得到系統傳遞函式：
2-4c 設系統處於靜止狀態，當輸入單位階躍函式時其輸出響應為
t>0試求該系統的傳遞函式。
解由題意可知：系統的初始條件為零，r(t)=1(t)於是r(s)= l[1（t）]=1/s。對上述響應表示式的兩邊取拉氏變換，則有
令y（s）=g(s)r(s)=g(s)/s,由上式便可求得系統的傳遞函式為
討論傳遞函式是線性定常單變數系統常用的輸入輸出模型，是經典控制理論的重要基礎。求取傳遞函式的常用方法有下列四種：（1）根據系統的工作原理繪製結構圖（或訊號流圖）來求取。
（2）由系統的微分方程（或微分方程組）通過拉氏變換來匯出。（3）根據系統響應表示式來推導，如本例；（4）由系統的狀態空間表示式轉換而得。
2-5a 系統的結構圖如圖2-6所示，試求該系統的輸入輸出傳遞函式。
說明由結構圖求系統的傳遞函式既可通過結構圖化簡也可以用梅森公式來計算，所得結果（即傳遞函式）是唯一的，但是結構圖等效變換的方案則不是唯一的。而且等效性只保證總的輸入輸出關係（即傳遞函式）不變，而結構圖內部則不等效，本題就是對此的乙個例項說明。
解 (1) 結構圖化簡方案1
將g3環節輸出端的引出點前移並合併區域性反饋環節，如圖2-7(a)所示；然後進行串聯和反饋的等效變換，如圖2-7(b)和(c)所示；由圖2-7 (c)通過併聯的等效變換，則可求得系統的傳遞函式為
（2）結構圖化簡方案2
將g2環節輸出端的引出點後移，合併區域性反饋環節並作串聯等效變換，如圖2-8(a)所示。然後進行反饋和串聯的等效變換，如圖2-8(b)所示。再通過反饋變換則可化成圖2-7(c)所示的形式，從而可匯出與方案1相同的傳遞函式。
（3）結構圖化簡方案3
將g2環節輸出端的引出點後移，把中間的相加點前移和左端的相加點合併並作串聯等效變換，如圖2-9(a)所示。然後合併區域性反饋環節，如圖2-8(b)所示。再通過反饋變換則可化成圖2-7(c)所示的形式，同樣可匯出與前兩個方案相同的傳遞函式。
討論結構圖簡化雖然方案較多，但所得的結果（即傳遞函式）是唯一的。化簡的基本思路是：解除交叉，由里往外逐步地化簡；相鄰的相加點之間或相鄰的引出點之間可互換位置，但是相鄰的相加點與引出點之間一般不能簡單地互換位置，若需要互換則必須保證其輸入輸出關係的等效性；對於多輸入或多輸出的複雜線性系統，則應用疊加原理以簡化求傳遞函式的複雜性。
2-7b 試求圖2-12所示結構圖的傳遞函式c(s)/r(s)。
解法用解析法求c（s）/r（s），
如圖2-13
e（s）=r（s）-c(s)
分析求得：
例2.1 圖為機械位移系統。試列寫質量m在外力f作用下位移y(t)的運動方程。
解阻尼器的阻尼力:
彈簧彈性力:
整理得:
例2.2 如圖rlc電路，試列寫以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網路微分方程。
解:例2.3 已知r1=1,c1=1f,uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t),求 uc(t)
解：零初始條件下取拉氏變換：
注：例2.4 具有相同極點不同零點的兩個系統
，它們零初始條件下的單位階躍響應分別為
3-1a 系統結構圖如圖3-1所示。
（1） 當r(t)=t，n(t)=t時，試求系統總穩態誤差；
（2） 當r(t)=1(t)，n(t)=0)時，試求σp，tp。
解：1. 令
2．3-2a 試選擇k1和k2的值，使圖3-2所示系統階躍響應的峰值時間為0.5s，超調量可以忽略不計（即0.5％《超調量<2.0％）。
解取求得3-3b 3個二階系統的閉環傳遞函式的形式都是φ(s)=c(s)/r(s)=wn2/(s2+2ξwn s+ wn2)，它們的單位階躍響應曲線如圖3-3中的曲線1、2、3。其中ts1，ts2是系統1，2的調整時間，tp1，tp2，tp3是峰值時間。在同一[s]平面內畫出3個系統的閉環極點的相對位置，並說明理由。
解：設三個系統對應的閉環極點分別是s1，s1*，s2，s2* ，s3，s3*。
由圖知σp1=σp2，故ξ1=ξ2，且
θ1=θ23-1)
s1，s2在同一阻尼比線上。因ts1ξ1wn1>ξ2wn23-2)
可見s1離虛軸比s2遠。由式（3-1），(3-2)可給出s1，s1*，s2，s2*的相對位置，如例圖3-4所示。
因tp1=tp2，故有
wd2=wd33-3)
s2與s3的虛部相同。因σp3>σp2，故ξ3<ξ2，且
θ3>θ23-4)
根據式（3-3），（3-4）可繪出s3，s3*，如例圖3-4所示
3-4a 某控制系統如圖3-5所示。其中控制器採用增益為kp的比例控制器，即
gc(s)=kp
試確定使系統穩定的kp值範圍。
解：系統的閉環傳遞函式為
gb(s)=
系統的閉環特徵方程為
列勞斯列陣
若要使系統穩定，其充要條件是勞斯列表的第一列均為正數，得穩定條件為
100kp>0
求得kp取值範圍：03-5a 某系統結構如圖3-6所示，
作為近似，令g(s)=k2。
(1)計算系統對k2的靈敏度；
(2)計算干擾n(s)對輸出c(s)的影響；
(3)為了使干擾對系統的影響最小，應
怎樣選擇k1的取值。
解 （1）系統閉環傳遞函式為
系統對k2的靈敏度為
（2）令r(s)為零，求c(s)/n(s)，如圖3-7所示
（3）為了使干擾對系統影響的最小
即 應該增大k1 。
3-6b 設單位反饋系統的開環傳遞函式為，若要求閉環特徵方程根的實部均小於－1，試問k應在什麼範圍取值？如果要求實部均小於－2，情況又如何？
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