湖北省黃石市2023年初中畢業生學業考試
數學試題卷
一、選擇題（本題有10個小題，每小題3分，共30分）
1.的倒數是（ ）
ab. 3c. －3d.
2.某星球的體積約為6635421，用科學計數法（保留三個有效數字）表示為，則（ ）
a. 4b. 5c. 6d. 7
3.已知反比例函式（為常數），當時，隨的增大而增大，則一次函式的影象不經過第幾象限（ ）
a.一b. 二c. 三d. 四
4. 2023年5月某日我國部分城市的最高氣溫統計如下表所示：
請問這組資料的平均數是
a.24b.25c.26d.27
5.如圖（1）所示，該幾何體的主檢視應為（ ）
6.如圖（2）所示，扇形的圓心角為120°，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（ ）
a. b. c. d.
7.有一根長的金屬棒，欲將其截成根長的小段和根長的小段，剩餘部分作廢料處理，若使廢料最少，則正整數，應分別為（ ）
ab.，
cd.，
8.如圖（3）所示，矩形紙片中，，，現將其沿對折，使得點與點重合，則長為
ab.cd.
9.如圖（4）所示，直線與線段為直徑的圓相切於點，並交的延長線於點，且，，點在切線上移動.當的度數最大時，則的度數為
ab.°
cd.°
10.如圖（5）所示，已知，為反比例函式影象上的兩點，動點在正半軸上運動，當線段與線段之差達到最大時，點的座標是（ ）
ab.cd.
二、填空（本題有6個小題，每小題3分，共18分）
11.分解因式
12.若關於的不等式組有實數解，則的取值範圍是
13.某校從參加計算機測試的學生中抽取了60名學生的成績（40～100分）進行分析，並將其分成了六段後繪製成如圖（6）所示的頻數分布直方圖（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）為及格，試根據圖中資訊來估計這次測試的及格率約為
14.將下列正確的命題的序號填在橫線上
①若大於2的正整數，則邊形的所有外角之和為.
②三角形三條中線的交點就是三角形的重心.
③證明兩三角形全等的方法有：, , ,及等.
15.「數學王子」高斯從小就善於觀察和思考.在他讀小學時候就能在課堂上快速的計算出，今天我們可以將高斯的做法歸納如下：
令①＋②：有解得：
請模擬以上做法，回答下列問題：
若為正整數，，則
16.如圖（7）所示，已知點從點（１，０）出發，以每秒１個單位長的速度沿著軸的正方向運動，經過秒後，以、為頂點作菱形，使、點都在第一象限內，且，又以（０，４）為圓心，為半徑的圓恰好與所在直線相切，則
三、解答題（本題有9個小題，共72分）
17.（本小題滿分7分）計算：
18.（本小題滿分7分）先化簡，後計算：，其中.
19.（本小題滿分7分）如圖（8），已知在平行四邊形中，.
求證：.
20.（本小題滿分8分）解方程：
21.（本小題滿分8分）已知甲同學手中藏有三張分別標有數字，，的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有數字，，的卡片，卡片外形相同.現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，並將它們的數字分別記為，.
（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果.
（2）現制定這樣乙個遊戲規則：若所選出的，能使得有兩個不相等的實數根，則甲獲勝；否則乙獲勝.請問這樣的遊戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋。
22.（本小題滿分8分）如圖（9）所示（左圖為實景側檢視，右圖為安裝示意圖），在屋頂的斜坡面上安裝太陽能熱水器：先安裝支架和（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在上.
為使集熱板吸熱率更高，公司規定：與水平面夾角為，且在水平線上的射影為.現已測量出屋頂斜面與水平面夾角為，並已知，。
如果安裝工人確定支架高為，求支架的高（結果精確到）？
23.（本小題滿分8分）某樓盤一樓是車庫（暫不銷售），二樓至二十三樓均為商品房（對外銷售）.商品房售價方案如下：
第八層售價為3000元/公尺2，從第八層起每上公升一層，每平方公尺的售價增加40元；反之，樓層每下降一層，每平方公尺的售價減少20元.已知商品房每套面積均為120平方公尺.開發商為購買者制定了兩種購房方案：
方案一：購買者先交納首付金額（商品房總價的30％），再辦理分期付款（即貸款）.
方案二：購買者若一次付清所有房款，則享受8％的優惠，並免收五年物業管理費（已知每月物業管理費為a元）
（1）請寫出每平方公尺售價（元/公尺2）與樓層（2≤≤23，是正整數）之間的函式解析式；
（2）小張已籌到120000元，若用方案一購房，他可以購買哪些樓層的商品房呢？
（3）有人建議老王使用方案二購買第十六層，但他認為此方案還不如不免收物業管理費而直接享受9％的優惠划算.你認為老王的說法一定正確嗎？請用具體的資料闡明你的看法。
24.（本小題滿分9分）如圖（10）所示：等邊△中，線段為其內角平分線，過點的直線於交的延長線於.
（1）請你**：，是否成立?
（2）請你繼續**：若△為任意三角形，線段為其內角平分線，請問一定成立嗎？並證明你的判斷.
（3）如圖（11）所示△中，，, ,為上一點且，交其內角角平分線與.試求的值.
25.（本小題滿分10分）已知拋物線的函式解析式為，若拋物線經過點，方程的兩根為，，且。
（1）求拋物線的頂點座標.
（2）已知實數，請證明：≥,並說明為何值時才會有.
（3）若拋物線先向上平移4個單位，再向左平移1個單位後得到拋物線，設，是上的兩個不同點，且滿足：，，.請你用含有的表示式表示出△的面積，並求出的最小值及取最小值時一次函式的函式解析式。
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