一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)
(1) 設,則＿＿＿＿＿＿.
(2)＿＿＿＿＿＿.
(3) 微分方程的通解為＿＿＿＿＿＿.
(4)＿＿＿＿＿＿.
(5) 由曲線及所圍圖形的面積＿＿＿＿＿＿.
二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題後的括號內.)
(1) 設當時,是比高階的無窮小,則
(ab)
(cd)
(2) 設函式在區間內有定義,若當時,恒有,則必是的
(a) 間斷點b) 連續而不可導的點
(c) 可導的點,且d) 可導的點,且
(3) 設處處可導,則
(a) 當,必有
(b) 當,必有
(c) 當,必有
(d) 當,必有
(4) 在區間內,方程
(a) 無實根b) 有且僅有乙個實根
(c) 有且僅有兩個實根d) 有無窮多個實根
(5) 設在區間上連續,且(為常數),由曲線
及所圍平面圖形繞直線旋轉而成的旋轉體體積為 ( )
(a)(b)(c)(d)三、(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.)
(1) 計算.
(2) 求.
(3) 設其中具有二階導數,且,求.
(4) 求函式在點處帶拉格朗日型餘項的階泰勒展開式.
(5) 求微分方程的通解.
(6) 設有一正橢圓柱體,其底面的長、短軸分別為,用過此柱體底面的短軸與底面成角()的平面截此柱體,得一鍥形體(如圖),求此鍥形體的體積.
四、(本題滿分8分)
計算不定積分.
五、(本題滿分8分)
設函式(1) 寫出的反函式的表示式；
(2)是否有間斷點、不可導點,若有,指出這些點.
六、(本題滿分8分)
設函式由方程所確定,試求的駐點,並判別它是否為極值點.
七、(本題滿分8分)
設在區間上具有二階導數,且, ,試證明：存在和,使及.
八、(本題滿分8分)
設為連續函式,
(1) 求初值問題的解,其中為正的常數；
(2) 若(為常數),證明：當時,有.
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)
(1)【答案】
【解析】.
(2)【答案】
【解析】注意到對稱區間上奇偶函式的積分性質,有
原式.【相關知識點】對稱區間上奇偶函式的積分性質：
若在上連續且為奇函式,則；
若在上連續且為偶函式,則.
(3)【答案】
【解析】因為是常係數的線性齊次方程,其特徵方程有一對共軛復根故通解為.
(4)【答案】
【解析】因為時, (為常數),所以,
原式.(5)【答案】
【解析】曲線的交點是,當時
(單調上公升)在上方,於是
二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)
(1)【答案】(a)
【解析】方法1：用帶皮亞諾餘項泰勒公式.由
,可得應選(a).
方法2：用洛必達法則.由有又由
應選(a).
(2)【答案】(c)
【解析】方法一：首先,當時,.
而按照可導定義我們考察
,由夾逼準則, ,故應選(c).
方法二：顯然, ,由, ,得,即有界,且
.故應選(c).
方法三：排除法.
令故(a)、(b)、(d)均不對,應選(c).
【相關知識點】定理：有界函式與無窮小的乘積是無窮小.
(3)【答案】(d)
【解析】方法一：排除法.例如,則(a),(c)不對；又令,則(b)不對.故應選擇(d).
方法二：由,對於,存在,使得當時,.
由此,當時,由拉格朗日中值定理,
,從而有,故應選擇(d).
【相關知識點】拉格朗日中值定理：如果函式滿足
(1) 在閉區間上連續；
(2) 在開區間內可導,
那麼在內至少有一點(),使等式
成立.(4)【答案】(c)
【解析】令,則,故是偶函式,考察在內的實數個數：
().首先注意到,當時,由零值定理,函式必有零點,且由
,在單調遞增,故有唯一零點.
當時,沒有零點；
因此,在有乙個零點.又由於是偶函式,在有兩個零點.故應選(c).
【相關知識點】零點定理：設函式在閉區間上連續,且與異號(即
),那麼在開區間內至少有一點,使.
(5)【答案】(b)
【解析】
見上圖,作垂直分割,相應於的小豎條的體積微元,於是
故選擇(b).
三、(本題共6小題,每小題5分,滿分30分.)
(1)【解析】方法一：換元法.
令,則,
所以.方法二：換元法.
令,則, ,
方法三：分部積分法和換元法結合.
原式令,則,
原式.【相關知識點】1.,
2.時,.
(2)【解析】方法一：
方法二：
方法三：換元法.
令,則,
原式.(3)【解析】這是由引數方程所確定的函式,其導數為
所以(4)【解析】函式在處帶拉格朗日餘項的泰勒展開式為
.對於函式,有
所以故 .
(5)【解析】方法一：微分方程對應的齊次方程的特徵方程為
,兩個根為,故齊次方程的通解為.
設非齊次方程的特解,代入方程可以得到,
因此方程通解為.
方法二：方程可以寫成,積分得,這是一階線性非齊次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解為
方法三：作為可降階的二階方程,令,則,方程化為,這是一階線性非齊次微分方程,可直接利用通解公式求解.通解為
再積分得 .
【相關知識點】1.二階線性非齊次方程解的結構：設是二階線性非齊次方程
的乙個特解.是與之對應的齊次方程
的通解,則是非齊次方程的通解.
2. 二階常係數線性齊次方程通解的求解方法：對於求解二階常係數線性齊次方程的通解,可用特徵方程法求解：即中的、均是常數,方程變為.其特徵方程寫為,在複數域內解出兩個特徵根；
分三種情況：
(1) 兩個不相等的實數根,則通解為
(2) 兩個相等的實數根,則通解為
(3) 一對共軛復根,則通解為其中為常數.
3.對於求解二階線性非齊次方程的乙個特解,可用待定係數法,有結論如下：
如果則二階常係數線性非齊次方程具有形如
的特解,其中是與相同次數的多項式,而按不是特徵方程的根、是特徵方程的單根或是特徵方程的重根依次取0、1或2.
如果,則二階常係數非齊次線性微分方程的特解可設為
,其中與是次多項式, ,而按(或)不是特徵方程的根、或是特徵方程的單根依次取為或.
4. 一階線性非齊次方程的通解為
, 其中為任意常數.
(6)【解析】建立座標系,底面橢圓方程為.
方法一：以垂直於軸的平面截此楔形體所得的截面為直角三角形,
其中一條直角邊長為,
另一條直角邊長為,
故截面面積為
.楔形體的體積為
.方法二：以垂直於軸的平面截此楔形體所得的截面為矩形,
其中一條邊長為,
另一條邊長為,
故截面面積為
,楔形體的體積為
.四、(本題滿分8分)
【解析】方法一：分部積分法.
方法二：換元法與分部積分法結合.
令,則,
五、(本題滿分8分)
【分析】為了正確寫出函式的反函式,並快捷地判斷出函式的連續性、可導性,須知道如下關於反函式的有關性質.
【相關知識點】反函式的性質：① 若函式是單調且連續的,則反函式有相同的單調性且也是連續的；② 函式的值域即為反函式的定義域；③,故函式的不可導點和使的點對應的值均為的不可導點.
【解析】(1) 由題設,函式的反函式為
(2) 方法一：考察的連續性與導函式.注意
在區間上分別與初等函式相同,故連續.在處分別左、右連續,故連續.易求得
由於函式在內單調上公升且連續,故函式在上單調且連續,沒有間斷點.
由於僅有時且,故是的不可導點；僅有是的不可導點(左、右導數,但不相等),因此在處不可導.
方法二：直接考察的連續性與可導性.注意
在區間上分別與初等函式相同,故連續.在處分別左、右連續,故連續,即在連續,沒有間斷點.
在內分別與初等函式相同,這些初等函式只有在
不可導,其餘均可導.在處,
不.在處,
. 因此,在內僅有與兩個不可導點.
六、(本題滿分8分)
【解析】方程兩邊對求導,得
①令得,代入原方程得,解之得唯一駐點；對①兩邊再求導又得
以代入②得
是極小點.
2.函式在駐點處取得極大值或極小值的判定定理.
當函式在駐點處的二階導數存在且不為零時,可以利用下述定理來判定在駐點處取得極大值還是極小值.
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