2007-2023年全國碩士研究生入學考試數學真題詳解
——線性代數部分
一、2023年：
1、(2023年數學
一、二、三、四) 設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是
(a). (b).
(c). (d
【答案】
【詳解】用定義進行判定:令
，得 .
因線性無關，所以
又故上述齊次線性方程組有非零解, 即線性相關. 類似可得(b), (c), (d)中的向量組都是線性無關的.
2、(2023年數學
一、二、三、四) 設矩陣, , 則a與b
(a) 合同, 且相似b) 合同, 但不相似 .
(c) 不合同, 但相似d) 既不合同, 又不相似
【答案】
【詳解】 由得a的特徵值為0, 3, 3, 而b的特徵值為0, 1, 1,從而a與b不相似.
又r(a)=r(b)=2, 且a、b有相同的正慣性指數, 因此a與b合同. 故選(b) .
3、(2023年數學
一、二、三、四) 設矩陣, 則的秩為 .
【答案】
【詳解】 依矩陣乘法直接計算得 , 故r()=1.
4、(2023年數學
一、二、三、四)
設線性方程組
與方程有公共解，求a的值及所有公共解．
【分析】 兩個方程有公共解就是與聯立起來的非齊次線性方程組有解.
【詳解】 將與聯立得非齊次線性方程組:
若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對的增廣矩陣作初等行變換得:
.於是1° 當a=1時，有=2<3，方程組有解, 即與有公共解, 其全部公共解即為的通解，此時
，此時方程組為齊次線性方程組，其基礎解系為: ,
所以與的全部公共解為，k為任意常數.
2° 當a =2時，有=3，方程組有唯一解, 此時
，故方程組的解為: , 即與有唯一公共解: 為.
5、(2023年數學
一、二、三、四)
設3階對稱矩陣ａ的特徵值是ａ的屬於的乙個特徵向量,記其中為3階單位矩陣.
() 驗證是矩陣ｂ的特徵向量，並求b的全部特徵值與特徵向量．
() 求矩陣ｂ．
【分析】 根據特徵值的性質可立即得b的特徵值, 然後由b也是對稱矩陣可求出其另外兩個線性無關的特徵向量.
【詳解】 () 由得,
進一步故
，從而是矩陣ｂ的屬於特徵值2的特徵向量.
因, 及ａ的3個特徵值得
b的3個特徵值為.
設為b的屬於的兩個線性無關的特徵向量, 又
ａ為對稱矩陣，得b也是對稱矩陣, 因此與正交, 即
所以可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解：
其基礎解系為: , , 故可取=, =.
即b的全部特徵值的特徵向量為:, , 其中,是不為零的任意常數,是不同時為零的任意常數.
() 令=, 則，得=
=.二、2023年：
1、（2023年數學
一、二、三、四）設為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則
則下列結論正確的是：
(a)不可逆，則不可逆b)不可逆，則可逆.
(c)可逆，則可逆d)可逆，則不可逆.
【答案】應選(c).
【詳解】，．
故，均可逆．故應選(c).
2、（2023年數學一）設為3階實對稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖，則的正特徵值個數為[ ]
(a) 0b) 1c) 2d) 3
【答案】 應選(b).
【詳解】此二次曲面為旋轉雙葉雙曲面，此曲面的標準方程為．故的正特徵值個數為1．故應選(b).
3、（2023年數學
二、三、四）設，則在實數域上，與a合同矩陣為[ ]
(a). (b). (c). (d
【答案】 應選(d).
【詳解】
則，記，則
則，正負慣性指數相同.故選d.
4、(2023年數學一) 設為2階矩陣，為線性無關的2維列向量，，．則的非零特徵值為
【答案】應填1．
【詳解】根據題設條件，得．
記，因線性無關，故是可逆矩陣．因此
，從而．記，則與相似，從而有相同的特徵值．
因為，，．故的非零特徵值為1．
5、（2023年數學二）設3階矩陣的特徵值為．若行列式，則
【答案】應填．
【詳解】由，依據方陣行列式的性質，則有，即.又等於其特徵值的乘積，即,得.
6、（2023年數學三）設3階方陣的特徵值為1,2,2,為單位矩陣，則 .
【答案】應填．
【詳解】由方陣特徵值的性質，，則，故方陣的特徵值分別為，又由方陣行列式等於其特徵值的乘積，則有.
7、（2023年數學四）設3階方陣的特徵值互不相同，若行列式，則的秩為 .
【答案】應填．
【詳解】由題可知，方陣的特徵值含有，而其餘兩個非零，故的秩為.
8、（2023年數學一）
設為3維列向量，矩陣，其中分別是得轉置．證明：
（i） 秩；
（ii） 若線性相關，則秩．
【詳解】（i）【證法1】．
【證法2】因為，為矩陣，所以．
因為為3維列向量，所以存在向量，使得
於是所以有非零解，從而．
【證法3】因為，所以為矩陣．
又因為，
所以故 ．
（ii）【證法】由線性相關，不妨設．於是．
9、(2023年數學
一、二、三、四)
設元線性方程組，其中
（i）證明行列式；
（ii）當為何值時，該方程組有惟一解，並求．
（iii）當為何值時，該方程組有無窮多解，並求其通解．
【詳解】（i）【證法1】數學歸納法．記
以下用數學歸納法證明．
當時，，結論成立．
當時，，結論成立．
假設結論對小於的情況成立．將按第一行展開得
故 ．
【注】本題（1）也可用遞推法．由得，．於是
（i）【證法2】消元法．記
．（ii）【詳解】當時，方程組係數行列式，故方程組有惟一解．由克萊姆法則，將得第一列換成，得行列式為
所以，．
（iii）【詳解】 當時，方程組為
此時方程組係數矩陣得秩和增廣矩陣得秩均為，所以方程組有無窮多組解，其通解為
，其中為任意常數．
10、(2023年數學
二、三、四)
設為3階矩陣，為的分別屬於特徵值的特徵向量，向量滿足，
()證明線性無關；
()令，求．
【詳解】()【證明】設有一組數，使得．
用左乘上式，得．
因為 ,，，
所以 ，
即．由於是屬於不同特徵值得特徵向量，所以線性無關，因此
，從而有．
故線性無關．
（ii）由題意，．而由（i）知，線性無關，從而可逆．故
．三、2023年：
1、（2023年數學一）設是3維向量空間的一組基，則由基到基
的過渡矩陣為
【答案】a
【解析】因為，則稱為基到的過渡矩陣。
則由基到的過渡矩陣滿足
所以此題選.
2、（2023年數學
一、二、三）設均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為
【答案】b
【解析】根據，若
分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆
故答案為b.
3、（2023年數學
二、三）（8）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為
【答案】 a
【解析】，即：
4、（2023年數學一）若3維列向量滿足，其中為的轉置，則矩陣的非零特徵值為
【答案】2
【解析】
, 的非零特徵值為2.
5、（2023年數學二）設為3維列向量，為的轉置，若矩陣相似於，則
【答案】
【解析】因為相似於，根據相似矩陣有相同的特徵值，得到的特徵值是，而是乙個常數，是矩陣的對角元素之和，則.
6、（2023年數學三）設,，若矩陣相似於，則_____
【答案】2
【解析】相似於，根據相似矩陣有相同的特徵值，得到的特徵值為
3，0，0。而為矩陣的對角元素之和，，.
7、（2023年數學
一、二、三）
設， （ⅰ）求滿足的所有向量，
（ⅱ）對（ⅰ）中的任一向量，證明：線性無關.
【解析】（ⅰ）解方程
故有乙個自由變數，令，由解得，
求特解，令，得
故，其中為任意常數
解方程故有兩個自由變數，令，由得
令，由得
求特解故 ，其中為任意常數
（ⅱ）證明：由於
故線性無關.
8、（2023年數學
一、二、三）設二次型
（ⅰ）求二次型的矩陣的所有特徵值；
（ⅱ）若二次型的規範形為，求的值.
【解析】（ⅰ）
（ⅱ） 若規範形為，說明有兩個特徵值為正，乙個為0。則
1) 若，則， ，不符題意
2) 若，即，則，，符合
3) 若，即，則，，不符題意
綜上所述，故
四、2023年：
1、（2023年數學一）設為型矩陣，為型矩陣，為階單位矩陣，若，則[ ]
（a） 秩，秩b） 秩，秩.
（c） 秩，秩d） 秩，秩.
【答案】
【詳解】 由於，故，又由，即，，再由題設可知，，，因此，可得選項（a）為正確.
2、（2023年數學
二、三）設向量組可由向量組線性表示，下列命題正確的是[ ]
（a） 若向量組線性無關，則. （b）若向量組線性相關，則.
（c） 若向量組線性無關，則. （d）若向量組線性相關，則.
【答案】
【詳解】 由於，，又由題設，可由線性表示，故有，又線性無關，即，可知（a）為正確.
3、（2023年數學
一、二、三）設為4階對稱矩陣，且，若的秩為3，則a相似於[ ]
（ab）.
（cd）.
【答案】
【詳解】 由題設可知，4階對稱陣與對角陣相似，則必有4個特徵值，且，又由，可知，即，，可得的特徵值分別為，又，則可知（d）為正確.
4、（2023年數學一）設，，，若由形成的向量空間維數為2，則 .
【答案】 應填 0
【詳解】 由形成的向量空間維數為2，故可知向量組的秩，即，故通過初等行變換討論矩陣的秩，判斷引數的取值.
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