第一講四邊形中的基本圖形
1、【例8】長方形abcd中被嵌入了6個相同的正方形，已知ab＝22厘公尺，bc＝20厘公尺，那麼每乙個正方形的面積是多少平方厘公尺？
【難度級別】★★★★★
【解題思路】使用「弦圖」求解。
什麼叫「弦圖」，解釋一下。乙個斜著放的正方形，左右2個頂點做水平線，上下2個頂點做豎直線，可以將正方形分割成4個直角三角形和乙個小正方形，如圖。
這4個直角三角形是完全相同的。假設直角三角形的長直角邊長度為b，短直角邊長度為a，斜邊長度為c，則a平方+b平方＝c平方。
對題目圖中的6個小正方形都做出弦圖來，做完弦圖後，仔細數一數，發現：上下的長度由(3a+2b)構成，左右的長度由(3a+b)構成，所以：3a+2b＝22，3a+b＝20。
求得：a＝6，b＝2。
【答案】6×6+2×2＝40。課堂上，有一位同學，不會做但是懵對了，很神奇呀！
2、【學案2】在四邊形abcd中，線段bc長為6厘公尺，∠abc＝90°，∠bcd＝135°，且點a到邊cd的垂線段ae＝12厘公尺，線段ed＝5，求四邊形abcd的面積。
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】延長dc和ab相交於p，三角形apd的面積－三角形bpc的面積，就是要求的四邊形abcd的面積。三角形bpc是等腰直角三角形且bc已知，面積可求。三角形apd的高ae已知，求出底pd即可，ed已知，求pe，三角形pea是等腰直角的，pe＝ae。
問題解決。
【答案】(12+5)×12÷2－6×6÷2＝84
3、【學案3】等腰梯形abcd中，交於o點的兩條對角線互相垂直，三角形ecb是直角三角形，oc比ao長20厘公尺。已知三角形ade的面積是250平方厘公尺，則梯形abcd的面積是多少平方厘公尺？
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】三角形boc、aod、eoc均是等腰直角三角形，oe＝od+de＝oc，od＝ao，得到de＝20，由ade面積250，得到ao＝25，所以oc＝45，ac＝25+45＝70，bd＝70。面積可求。
【答案】70×25÷2+70×45÷2＝70×70÷2＝2450
4、【學案4】一塊邊長為180厘公尺的正方形鐵片，四角各被截去乙個邊長為40厘公尺的小正方形鐵片，現在要從剩下的鐵片中剪出一塊完整的正方形鐵片來，剪出的正方形面積最大為多少平方厘公尺？
【難度級別】★★★★★
【解題思路】剪出的正方形的頂點在100厘公尺的邊上，而且剪出的正方形的邊要經過40厘公尺小正方形的頂點，這樣才最大。這樣，剪出的正方形由4個三角形和1個邊長為100厘公尺的正方形組成，根據一半模型，三角形面積是100×40的長方形的面積一半。
【答案】4×(100×40÷2)+100×100＝18000
5、【作業5】請僅用刻度尺畫乙個面積是5平方厘公尺的正方形，保留必要的作圖痕跡。
【難度級別】★★★★★
【解題思路】根據勾股定理，5＝1的平方+2的平方。
方法一：做直角邊為1和2的直角三角形，斜邊就是要畫正方形的邊長。
方法二：先做乙個邊長是3的正方形，每邊3等分，每個邊上取乙個對應同等位置的3等分點，這4個點連線起來，就是題目要做的正方形。
【答案】按照解題思路去畫
第二講乘法原理
6、【例7】1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，至少發生一次進製？
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】至少發生一次進製，不好求，求的反面：沒有進製。
沒有進製：千位可取：0、1、2、3、4，百位可取：
0、1、2、3，十位可取：0、1、2，個位可取：0、1，5×4×3×2＝120，需要減掉四位全0的0這個數，119個。
【答案】1999－119＝1880
7、【例8】有______個四位數滿足下列條件：它的各位數字都是奇數，它的各位數字互不相同，它的每個數字都能整除它本身。
【難度級別】★★★★★
【解題思路】奇數有1、3、5、7、9，這5個數字需要選擇4個，只能去掉1個，所以3和9肯定有1個，有3或者9，此數必然能被3整除，四個數字上的數字相加必須是3個倍數，1+3+5+7+9＝25，25不能整除3，去掉1或者7就可以整除3。
1+3+5+9＝18，3+5+7+9＝24，因這2種情況都有9，有9數字和必須能整除9，18可以整除24不可以，所以3、5、7、9不滿足，保留1、3、5、9。
1、3、5、9組成的數，由以上分析知道，可以整除3和9，整除1是肯定的，還需要滿足整除5，所以5必須在個位。
由1、3、5、9組成的5在個位的各位數字互不相同的四位數有：3×2×1＝6個。
【答案】6個，它們是：1395、1935、3195、3915、9135、9315
8、【學案1】計算機上程式設計序列印出前10000個正整數：1,2,3,……,10000時，不幸印表機有毛病，每次列印數字3時，它都列印出x，問其中被錯誤列印的共有多少個數？
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】包含3的錯誤的數，不好求，求它的反面：不錯誤的數有多少個（即：不包含3的數）。
方法一：一位數有：8，兩位數有：８×９，三位數有：８×９×９，四位數有：８×９×９×９，五位數有：１。
共：8+8×9+8×9×9+8×9×9×9+1 = 6561
方法二：五位數有１個，五位數以內的有：千位、百位、十位、個位均有９種取值可能需要減掉四位全0的0這個數。
共：１+(9×9×9×9－1)＝6561
【答案】10000－6561＝3439
9、【學案4】有9張同樣大小的圓形紙片，其中標有數碼「1」的有1張，標有數碼「2」的有2張，標有數碼「3」的有3張，標有數碼「4」的有3張，把這9張圓形紙片如圖所示放置在一起，但標有相同數碼的紙片不許挨在一起。
(1)如果m處放標有數碼「3」的紙片，一共有多少種不同的放置方法？
(2)如果m處放標有數碼「2」的紙片，一共有多少種不同的放置方法？
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】m處放3，另外2張3只能放到左下角和右下角。1的位置有6種選擇，1放好後，2和4的位置就固定了。所以答案就是6種。
m處放2，另1張2可以放在左下角或右下角，對稱，1個位置的計算出來，乘以2即可。 假設另1張2放在右下角，那麼左下角的3個圈必須放剩下的「1」、「3」、「4」三種的各1張。3個圈放「1」、「3」、「4」共有6種放法，這3個放完，剩餘的就唯一了。
所以m處放2，有6×2＝12種。
【答案】(1)6種，(2)12種
10、【越玩越聰明】在例6的後面。
請利用類似方程的思想證明0. =1。即：已知：x=0.,求證x=1。
【難度級別】★★★★★
【解題思路】
設0. =x
然後，兩邊同乘0.1得： 0.0=0.1x
用①—②得：0.9=0.9x
再兩邊同除以0.9得： x=1
所以0. =1
【答案】不會，百度出來的，見解題思路。
第三講相遇問題
這一講難題不多。
11、【學案3】甲、乙兩人從a、b兩地同時出發相向而行，甲每分鐘行70公尺，已每分鐘行50公尺。出發一段時間後，兩人在據中點100公尺處相遇。如果甲出發後在途中某地停留了一會兒，兩人在據中點250公尺處相遇。
那麼甲在途中停留了多少分鐘？
【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】（100×2）÷（70－50）＝10分鐘，（70+50）×10＝1200公尺。250公尺的這個地方，不太好想，該如何去做。
其實也不難，總距離知道了，中點一半的距離知道，可以求出甲乙走的時間。1200÷2＝600，（250+600）÷50＝17分鐘，（600－250）÷70＝5分鐘。17－5＝12分鐘。
【答案】12分鐘。
12、【例6】甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發，沿同一山道行進。兩人的上山速度都是20公尺/分，下山速度都是30公尺/分。甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息30分鐘後返回，兩人在據山頂480公尺處再次相遇。
山道長多少公尺？
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】個人認為根據再次相遇時用的總時間相等來列方程，挺容易的，只是有分母，孩子不一定會解方程。老師講解的不列方程的方法，關鍵點是：甲和乙都是一上一下，上下的速度又相同，所以如果都不休息，回到出發點用的時間是相等的，應該同時到。
但是現在乙休息了30分鐘，所以甲480÷20=24分鐘回到山頂時，乙應該需要24+30分鐘才能回到山腳，乙走了（24+30）×30＝1620公尺。
【答案】1620+480＝2100公尺
13、【越玩越聰明】在例6的後面。
粗心的鐘錶匠
小王師傅是鐘錶店的新職工，由於工作不安心，時常出問題。有一次，他給學校修理乙隻大鐘，竟然把長短針裝配錯了。這樣一來，短針走的速度變成了長針的12倍。
裝配的時候是下午6點，他把短針指在「6」上，長針指在「12」上。小王裝好後，就回家了。學校值班老師看到這大鐘一會兒7點，一會兒8點，十分奇怪，立刻派人去找小王師傅。
小王師傅在第二天上午7點多鐘才來到，他掏出標準表一看，表和大鐘的時間一樣，說學校故意找他的麻煩，氣乎乎地回家了。小王走後，老師發覺大鐘還是不對頭，又通知小王來。下午8點多，小王又來到學校，與標準表一對，仍舊準確無誤。
請你想一想，小王第一次來校對表的時刻是上午7點幾分？第二次對錶的時刻又是下午8點幾分？
【難度級別】★★★★★
【解題思路】網上沒有找到答案，自己思考。
感覺：比7點5分多點，比7點6分少點。到底是多少呢？我做了計算，x/60=(5+x/60)/12，x=27.27(27迴圈)，是7點5分27.27(27迴圈)秒。
感覺：比8點10分多點，比8點11分少點。到底是多少呢？
我做了計算，x/60=(10+x/60)/12，x=54.54(54迴圈)，是8點10分54.54(54迴圈)秒。
【答案】7點5分27秒，8點10分54秒。如果只答到分的話，按照就近原則，只能答：7點5分，8點11分。
第四講14、【例】
【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】
【答案】
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