●新高一暑假數學銜接課程
第4講：二次函式
1．二次函式y＝ax2＋bx＋c的影象和性質：
問題[1] 函式y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關係？
問題[2] 函式y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關係？
二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性質：
[1]當a＞0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向 ；頂點座標為對稱軸為直線當時，y隨著x的增大而 ；當時，y隨著x的增大而 ；當時，函式取最小值
[2]當a＜0時，函式y＝ax2＋bx＋c圖象開口方向 ；頂點座標為 ，對稱軸為直線當時，y隨著x的增大而 ；當時，y隨著x的增大而 ；當時，函式取最大值
上述二次函式的性質可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今後解決二次函式問題時，可以借助於函式影象、利用數形結合的思想方法來解決問題．
2．二次函式的三種表示方式
[1]二次函式的三種表示方式：
（1）．一般式
（2）．頂點式
（3）．交點式
①給出三點座標可利用一般式來求；
②給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求．
③給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點.時可利用交點式來求．
3．分段函式
一般地，如果自變數在不同取值範圍內時，函式由不同的解析式給出，這種函式，叫作分段函式．
例1、求二次函式y＝－3x2－6x＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點座標、最大值（或最小值），並指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？並畫出該函式的圖象．
例2、某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關係如下表所示：
若日銷售量y是銷售價x的一次函式，那麼，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？
例3、已知函式，其中，求該函式的最大值與最小值，並求出函式取最大值和最小值時所對應的自變數x的值．
例4、根據下列條件，分別求出對應的二次函式的關係式．
（1）已知某二次函式的最大值為2，影象的頂點在直線y＝x＋1上，並且圖象經過點（3，－1）；
（2）已知二次函式的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等於2；
（3）已知二次函式的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．
例5、在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0＜x≤100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函式表示式，作出函式圖象．
【課後作業】
1．選擇題：
（1）把函式y＝－(x－1)2＋4的圖象的頂點座標是（ ）
（a）（－1，4） （b）（－1，－4） （c）（1，－4） （d）（1，4）
（2）函式y＝－x2＋4x＋6的最值情況是（ ）
（a）有最大值6b）有最小值6
（c）有最大值10d）有最大值2
（3）函式y＝2x2＋4x－5中，當－3≤x＜2時，則y值的取值範圍是（ ）
（a）－3≤y≤1b）－7≤y≤1
（c）－7≤y≤11d）－7≤y＜11
2．填空：
（1）已知某二次函式的圖象與x軸交於a(－2，0)，b(1，0)，且過點c（2，4），則該二次函式的表示式為
（2）已知某二次函式的圖象過點（－1，0），（0，3），（1，4），則該函式的表示式為
3．根據下列條件，分別求出對應的二次函式的關係式．
（1）已知二次函式的圖象經過點a（0，），b（1，0），c（，2）；
（2）已知拋物線的頂點為（1，），且與y軸交於點（0，1）；
（3）已知拋物線與x軸交於點m（，0），（5，0），且與y軸交於點（0，）；
（4）已知拋物線的頂點為（3，），且與x軸兩交點間的距離為4．
4．如圖，某農民要用12m的竹籬笆在牆邊圍出一塊一面為牆、另三面為籬笆的矩形地供他圈養小雞．已知牆的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？
5．如圖所示，在邊長為2的正方形abcd的邊上有乙個動點p，從點a出發沿折線abcd移動一周後，回到a點．設點a移動的路程為x，δpac的面積為y．
（1）求函式y的解析式；
（2）畫出函式y的影象；
（3）求函式y的取值範圍．
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