【學習目標】
1. 了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程．
2. 會列出分式方程解簡單的應用問題．
【要點梳理】
【高畫質課堂分式方程的解法及應用知識要點】
要點一、分式方程的概念
分母中含有未知數的方程叫分式方程.
要點詮釋：（1）分式方程的重要特徵：①是等式；②方程裡含有分母；③分母中含有未知數.
（2）分式方程和整式方程的區別就在於分母中是否有未知數（不是一般的字母係數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的聯絡：分式方程可以轉化為整式方程.
要點二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：將分式方程轉化為整式方程.轉化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母.
在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根.
解分式方程的一般步驟：
（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；
（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等於0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等於0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.
要點三、解分式方程產生增根的原因
方程變形時，可能產生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根.
產生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對於整式方程來說，求出的根成立，而對於原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根.
要點詮釋：（1）增根是在解分式方程的第一步「去分母」時產生的.根據方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同乙個不為0的數，所得方程是原方程的同解方程.
如果方程的兩邊都乘以的數是0，那麼所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.
2）解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤，而是檢驗是否出現增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進行的.
要點四、分式方程的應用
分式方程的應用主要就是列方程解應用題.
列分式方程解應用題按下列步驟進行：
（1）審題了解已知數與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數量關係；
（2）設未知數；
（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關係，列出分式方程；
（4）解這個分式方程；
（5）驗根，檢驗是否是增根；
（6）寫出答案.
【典型例題】
型別一、判別分式方程
1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．
a． b．
c． d．，（，為非零常數）
【答案】b；
【解析】a、c兩項中的方程儘管有分母，但分母都是常數；d項中的方程儘管含有分母，但分母中不含未知數，由定義知這三個方程都不是分式方程，只有b項中的方程符合分式方程的定義．
【總結昇華】要判斷乙個方程是否為分式方程，就看其有無分母，並且分母中是否含有未知數．
型別二、解分式方程
2、 解分式方程（1）；（2）．
【答案與解析】
解：（1），
將方程兩邊同乘，得
．解方程，得．
檢驗：將代入，得．
∴ 是原方程的解．
（2），
方程兩邊同乘以，得．
解這個方程，得．
檢驗：把代入最簡公分母，得2×5×1＝10≠0．
∴ 原方程的解是．
【總結昇華】將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數項．特別提醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根．
舉一反三：
【變式】解方程：．
【答案】
解：，方程兩邊都乘，得，
解這個方程，得，
檢驗：當時，，
∴ 是增根，
∴ 原方程無解．
型別三、分式方程的增根
【高畫質課堂分式方程的解法及應用例3（1）】
3、為何值時，關於的方程會產生增根？
【思路點撥】若分式方程產生增根，則，即或，然後把代入由分式方程轉化得的整式方程求出的值．
【答案與解析】
解： 方程兩邊同乘約去分母，
得．整理得．
∵ 原方程有增根，∴ ，即或．
把代入，解得．
把代入，解得．
所以當或時，方程會產生增根．
【總結昇華】處理這類問題時，通常先將分式方程轉化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解．
舉一反三：
【變式】如果方程有增根，那麼增根是________．
【答案】；
提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母或可得．所以增根是．
型別四、分式方程的應用
4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹?
【思路點撥】本題的等量關係為：甲班種60棵樹所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等．
【答案與解析】
解：設甲班每小時種棵樹，則乙班每小時種棵樹．
由題意可得，解這個方程，得．
經檢驗是原方程的根且符合題意．
所以(棵)．
答：甲班每小時種20棵樹，乙班每小時種22棵樹．
【總結昇華】解此題的關鍵是設出未知數後，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間．
舉一反三：
【變式】兩個工程隊共同參與乙個建築工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成．哪個隊的施工速度快?
【答案】
解：設乙隊單獨施工1個月能完成工程的，總工程量為1．
根據工程的實際進度，得．
方程兩邊同時乘以，得．
解這個方程得．
檢驗：當時，＝6≠0，
所以是原分式方程的解．
由上可知，若乙隊單獨工作1個月可以完成全部任務，對比甲隊1個月完成任務的，可知乙隊施工速度快．
答：乙隊施工速度快．
分式方程的解法及應用
1 分式方程的概念 1 下列是分式方程的是 a x y 2 b c d 二 解法 1 去分母正確的是 a 去分母得 x 1 x 1 x 2 1 b 去分母得x 5 2x 5 c 去分母得 x 2 2 x 2 x x 2 d 去分母得2 x 1 x 3 2.方程的的解是 3.3 方程的解是a 0 b ...
分式方程的解法及應用 提高 鞏固練習
36.分式方程的解法及應用 提高 鞏固練習 鞏固練習 一.選擇題 1 下列關於的方程中，是分式方程的是 a b c d 2 若分式方程的解為則等於 a b 5 c d 5 3.已知用表示的代數式為 a b c d 4 若關於的方程有增根，則的值是 a 3 b 2 c 1 d 1 5 將公式 均不為零...
分式方程的解法及應用 提高 知識講解
分式知識點 分式，分式的基本性質，最簡分式，分式的運算，零指數，負整數，整數，整數指數冪的運算 大綱要求 了解分式的概念，會確定使分式有意義的分式中字母的取值範圍。掌握分式的基本性質，會約分，通分。會進行簡單的分式的加減乘除乘方的運算。掌握指數指數冪的運算。考查重點與常見題型 1 考查整數指數冪的運...