因式分解練習
1、分解因式
2、已知代數式的值是4，則代數式的值是（ ）
a．7 b．9 c． 23 d．－1
3、如果x2＋mx－n＝(x+3)(x－2)，則m＋n的值為__ ____．
4、先請閱讀下列題目和解答過程:
「已知a,b,c為△abc的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷△abc的形狀.
解:因為a2c2-b2c2=a4-b4①,
所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)②,
所以c2=a2+b2③,
所以△abc是直角三角形④.」
請解答下列問題:
(1)上列解答過程,從第幾步到第幾步出現錯誤?
(2)簡要分析出現錯誤的原因.
(3)寫出正確的解答過程.
5、觀察猜想:如圖,大長方形是由四個小長方形拼成的,根據此圖可得
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x+p)(x+q).
事實上,我們也可以用如下方法進行變形:
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).
於是我們可利用上面的方法進行多項式的因式分解.
例:把x2+3x+2因式分解.
解:x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1
=(x+2)(x+1).
請利用上述方法將下列多項式因式分解:
(1)x2+7x+12.(2)x4-13x2+36.
6、若x+y+z=2,x2-(y+z)2=6,則x-y-z= .
7、給定一列代數式：a3b2，ab4，a4b3，a2b5，a5b4，a3b6，…．
（1）分解因式：ab4﹣a3b2；
（2）根據你發現的規律，試寫出給定的那列代數式中的第100個代數式．
8、已知a、b、c是△abc的三邊且滿足a2﹣b2+ac﹣bc=0，請判斷△abc的形狀．
9、已知a、b、c是△abc的三邊長，且滿足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，則△abc的形狀是（ ）
a．等腰三角形b．直角三角形
c．等腰三角形或直角三角形 d． 等腰直角三角形
10、給出三個整式a2，b2和2ab．
（1）當a=3，b=4時，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分解．請寫出你所選的式子及因式分解的過程．
11、設y=kx，是否存在實數k，使得代數式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化簡為x4？若能，請求出所有滿足條件的k的值；若不能，請說明理由．
12、先因式分解(1),(2),(3),再解答後面的問題.
(1)1+a+a(1+a).
(2)1+a+a(1+a)+a(1+a)2.
(3)1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3.
問題:①先探索上述因式分解的規律,然後寫出1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014因式分解的結果.
②請按上述方法因式分解:1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)n(n為正整數).
13、已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)·(x-13)可因式分解為(3x+a)(x+b),其中a,b均為整數,則a+3b= .
14、我國古代數學的許多發現都曾位居世界前列,其中「楊輝三角」就是一例.如圖,這個三角形的構造法則:兩腰上的數都是1,其餘每個數均為其上方左右兩數之和,它給出了(a+b)n(n為正整數)的展開式(按a的次數由大到小的順序排列)的係數規律.
例如,在三角形中第三行的三個數1,2,1,恰好對應(a+b)2=a2+2ab+b2展開式中的係數;第四行的四個數1,3,3,1,恰好對應著(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展開式中的係數等等.
(1)根據上面的規律,寫出(a+b)5的展開式.
(2)利用上面的規律計算:25-5×24+10×23-10×22+5×2-1.
15、如果乙個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那麼稱這個正整數為「神秘數」。如4=22－02，12=42－22，20=62－42，因此，4，12，20這三個數都是神秘數。
（1）28和2012這兩個數是神秘數嗎？為什麼？
（2）設兩個連續偶數為2k+2和2k（其中k取非負數），由這兩個連續偶數構成的神秘數是4的倍數嗎？為什麼？
（3）兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘嗎？為什麼？
16、（1）當時，分別求代數式:①②的值.
（2）當a=5，b=3時，分別求代數式: ①②的值.
（3）再取幾組a、b的數值試一試， 觀察代數式①②的值，猜想與有何關係？
（4）利用你的猜想，嘗試求的值.
17、如圖5，在邊長為a的正方形中，剪去乙個邊長為b的小正方形（a＞b）,將餘下部分拼成乙個梯形，根據兩個圖形陰影部分面積的關係，可以得到乙個關於a、b的恒等式為（ ）
a． b．
c． d．
18、計算與求值
32003－4×32002+10×32001能被7整除嗎？為什麼？
19、已知，那麼的值為（ ）
a.11 b. 12 c. 13 d. 14
20、已知：實數滿足：，則代數式的值是 ．
答案1、
2、a3、74、【解析】(1)從第②步到第③步出錯.
(2)等號兩邊不能同除以a2-b2,因為它有可能為零.
(3)因為a2c2-b2c2=a4-b4,
所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
移項得:c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,
得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,
所以a2=b2或c2=a2+b2,
所以△abc是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
5、【解析】(1)x2+7x+12=x2+(4+3)x+4×3=
(x+4)(x+3).
(2)x4-13x2+36=x4+[(-4)+(-9)]x2+
(-4)×(-9)
=(x2-4)(x2-9)
=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3).
6、3因為x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)=6,x+y+z=2,所以x-y-z=3.
7、解：（1）ab4﹣a3b2=ab2（b+a）（b﹣a）；（3分）（未分解徹底扣1分）
（2）a50b53（3分）（若a或b的指數只寫對乙個，可得1分）．
8、解：a2﹣b2+ac﹣bc=0，
由平方差公式得：
（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a+b+c）=0，
∵a、b、c三邊是三角形的邊，
∴a、b、c都大於0，
∴本方程解為a=b，
∴△abc一定是等腰三角形．
9、c 解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，
（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，
a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，
（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．
所以a=b或a2+b2=c2．
故△abc的形狀是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
10、解：（1）當a=3，b=4時，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．（3分）
（2）答案不唯一，式子寫對給（1分），因式分解正確給（2分）．例如，
若選a2，b2，則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3分）
若選a2，2ab，則a2±2ab=a（a±2b）．（3分）
11、解：能；
（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）
=（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2）
=（4x2﹣y2）2，
當y=kx，原式=（4x2﹣k2x2）2=（4﹣k2）2x4，
令（4﹣k2）2=1，解得k=±或±，
即當k=±或±時，原代數式可化簡為x4．
12、【解析】(1)原式=(1+a)(1+a)=(1+a)2.
(2)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)]=(1+a)(1+a)(1+a)=(1+a)3.
(3)原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2]
=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)]
=(1+a)2(1+a)(1+a)
=(1+a)4.
①由(1),(2),(3)的規律可知,1+a+a(1+a)+a(1+a)2+a(1+a)3+…+a(1+a)2014=(1+a)2015.
②原式=(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-1]
=(1+a)(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-2]
=(1+a)2(1+a)[1+a+a(1+a)+a(1+a)2+…+a(1+a)n-3]
…=(1+a)n-1(1+a)(1+a)=(1+a)n+1.
13、-31
【解析】(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8),
則a=-7,b=-8,a+3b=-7-24=-31.
14、【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)原式=25+5×24×(-1)+10×23×(-1)2+10×22×(-1)3+5×2×(-1)4+(-1)5
=(2-1)5=1.
15、（1）∵28=82-62 2012=5042-5022
∴28和2012這兩個數都是神秘數。
（2）設這兩個連續偶數構成的神秘數為x
∴x=(2k+2)-(2k)2
=4(2k+1)
∴這兩個連續偶數構成的神秘數是4的倍數。
（3）由（2）可得，神秘數可表示為4(2k+1)，因為(2k+1)是奇數，因此神秘數是4的倍數，但一定不是8的倍數。
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