工程問題
1．甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時開啟甲乙兩水管，5小時後，再開啟排水管丙，問水池注滿還是要多少小時？
解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5＝45/80表示5小時後進水量
1-45/80＝35/80表示還要的進水量
35/80÷（9/80-1/10）＝35表示還要35小時注滿
答：5小時後還要35小時就能將水池注滿。
2．修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由於彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九。現在計畫16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那麼兩隊要合作幾天？
解：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效》甲的工效》乙的工效。
又因為，要求「兩隊合作的天數盡可能少」，所以應該讓做的快的甲多做，16天內實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能「兩隊合作的天數盡可能少」。
設合作時間為x天，則甲獨做時間為（16-x）天
1/20*（16-x）+7/100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成。現在先請甲、丙合做2小時後，餘下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時？
解： 由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量
（1/4+1/5）×2＝9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。
根據「甲、丙合做2小時後，餘下的乙還需做6小時完成」可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小時的工作量。
1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20＝20小時表示乙單獨完成需要20小時。
答：乙單獨完成需要20小時。
4．一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，那麼恰好用整數天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那麼完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成？
解：由題意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1
（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最後結束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天）
1/甲＝1/乙+1/甲×0.5（因為前面的工作量都相等）
得到1/甲＝1/乙×2
又因為1/乙＝1/17
所以1/甲＝2/17，甲等於17÷2＝8.5天
5．師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個？
答案為300個
120÷（4/5÷2）＝300個
可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那麼徒弟第二次後共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。
6．一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵；如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵？
答案是15棵
算式：1÷（1/6-1/10）＝15棵
7．乙個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完。現在先開啟甲管，當水池水剛溢位時，開啟乙,丙兩管用了18分鐘放完，當開啟甲管注滿水是，再開啟乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？
答案45分鐘。
1÷（1/20+1/30）＝12 表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數。
1/12*（18-12）＝1/12*6＝1/2 表示乙丙合作將漫池水放完後，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。
1/2÷18＝1/36 表示甲每分鐘進水
最後就是1÷（1/20-1/36）＝45分鐘。
8．某工程隊需要在規定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規定日期為幾天？
答案為6天
解： 由「若乙隊去做，要超過規定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，」可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3
時間比的差是1份
實際時間的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的時間，也就是規定日期
方程方法：
[1/x+1/（x+2）]×2+1/（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘後來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發現粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘？
答案為40分鐘。
解：設停電了x分鐘
根據題意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得x＝40
雞兔同籠問題
1．雞與兔共100只,雞的腿數比兔的腿數少28條,問雞與兔各有幾隻?
解： 4*100＝400，400-0＝400 假設都是兔子，一共有400只兔子的腳，那麼雞的腳為0只，雞的腳比兔子的腳少400只。
400-28＝372 實際雞的腳數比兔子的腳數只少28只，相差372只，這是為什麼？
4+2＝6 這是因為只要將乙隻兔子換成乙隻雞，兔子的總腳數就會減少4只（從400只變為396只），雞的總腳數就會增加2只（從0只到2只），它們的相差數就會少4+2＝6只（也就是原來的相差數是400-0＝400，現在的相差數為396-2＝394，相差數少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示雞的隻數，也就是說因為假設中的100只兔子中有62只改為了雞，所以腳的相差數從400改為28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的隻數
數字數字問題
1．把1至2005這2005個自然數依次寫下來得到乙個多位數123456789.....2005,這個多位數除以9餘數是多少?
解：首先研究能被9整除的數的特點：如果各個數字上的數字之和能被9整除，那麼這個數也能被9整除；如果各個位數字之和不能被9整除，那麼得的餘數就是這個數除以9得的餘數。
解題：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次類推：1~1999這些數的個位上的數字之和可以被9整除
10~19，20~29……90~99這些數中十位上的數字都出現了10次，那麼十位上的數字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除
同樣的道理，100~900 百位上的數字之和為4500 同樣被9整除
也就是說1~999這些連續的自然數的各個位上的數字之和可以被9整除；
同樣的道理：1000~1999這些連續的自然數中百位、十位、個位上的數字之和可以被9整除（這裡千位上的「1」還沒考慮，同時這裡我們少200020012002200320042005
從1000~1999千位上一共999個「1」的和是999，也能整除；
200020012002200320042005的各位數字之和是27，也剛好整除。
最後答案為餘數為0。
2．a和b是小於100的兩個非零的不同自然數。求a+b分之a-b的最小值...
解： (a-b)/(a+b) = (a+b - 2b)/(a+b) = 1 - 2 * b/(a+b)
前面的 1 不會變了，只需求後面的最小值，此時 (a-b)/(a+b) 最大。
對於 b / (a+b) 取最小時，(a+b)/b 取最大，
問題轉化為求 (a+b)/b 的最大值。
(a+b)/b = 1 + a/b ，最大的可能性是 a/b = 99/1
(a+b)/b = 100
(a-b)/(a+b) 的最大值是： 98 / 100
3．已知都是非0自然數,a/2 + b/4 + c/16的近似值市6.4,那麼它的準確值是多少?
答案為6.375或6.4375
因為a/2 + b/4 + c/16＝8a+4b+c/16≈6.4，
所以8a+4b+c≈102.4，由於a、b、c為非0自然數，因此8a+4b+c為乙個整數，可能是102，也有可能是103。
當是102時，102/16＝6.375
當是103時，103/16＝6.4375
4．乙個三位數的各位數字之和是17.其中十位數字比個位數字大1.如果把這個三位數的百位數字與個位數字對調,得到乙個新的三位數,則新的三位數比原三位數大198,求原數.
答案為476
解：設原數個位為a，則十位為a+1，百位為16-2a
根據題意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，則a+1＝7 16-2a＝4
答：原數為476。
5．乙個兩位數,在它的前面寫上3,所組成的三位數比原兩位數的7倍多24,求原來的兩位數.
答案為24
解：設該兩位數為a，則該三位數為300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：該兩位數為24。
6．把乙個兩位數的個位數字與十位數字交換後得到乙個新數,它與原數相加,和恰好是某自然數的平方,這個和是多少?
答案為121
解：設原兩位數為10a+b，則新兩位數為10b+a
它們的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因為這個和是乙個平方數，可以確定a+b＝11
因此這個和就是11×11＝121
答：它們的和為121。
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