摘要針對某班級評定獎學金的問題，本文給出了乙個詳細的解答過程。
對於問題一，學生的綜合成績由考試課與考查課組成，將考查課的等級制進行資料化，都以百分制處理，這樣也保證了他們的量綱一致。在最終確定綜合成績的計算過程中，我們先用學分算出考試課與考查課的權重分別為0.65和0.
35，最後用公式：
得出所有學生各自的綜合成績及排名（綜合成績資料具體內容見附錄二），所得排名為：nablifhjckgedm。
對於問題二，本文運用層次分析模型，通過各因素兩兩比較構造判斷矩陣，並進行一致性檢驗，最後用和法求得綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況及學生民主投票權重，分別為：
對於問題三，獎學金評定的五個影響因素：綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況及學生民主投票進行資料化，並將其量綱歸一，然後通過加權計算求得學生排名情況，從而進行獎學金評定，評定結果為：
對於問題四，本文用簡明易懂的文字闡述了獎學金評定的全過程，所有的資料均通過excel來處理，體現了其實用性。
關鍵詞：量化綜合評判層次分析模型量綱歸一靈敏度分析
一、問題的背景
獎學金制度是高校普遍採用的一種對學生進行獎勵、激勵的制度，評定獎學金成為高校每年工作的乙個重要環節。獎學金評定有其明確的標準，這些標準是學校培養目標的具體化，獎學金評定對學生的行為具有導向功能。
目前，高校獎學金主要有綜合獎學金和單項獎學金兩大類。綜合獎學金主要是對各方面表現都比較優秀的學生設立的，單項獎學金則主要是針對在某一方面表現比較突出的學生設立的。但是在獎學金評定工作的實施過程中，其效果往往不盡人意，在其公平性問題上存在爭議。
二、問題的重述
我們收集了某班級評定獎學金可以用到的一些資料（在獎學金評定資訊.xls中）。考慮到該班級所在學校對獎學金的評定有基本條件限制，如考試課成績不能低於70分等，表中只給出了滿足基本條件的同學的資訊。
請建立數學模型，根據資料中提供的資料，確定獎學金獲得者名單。具體要求如下：
(1) 根據excel中的相關資料，選擇一種合理的方法，計算出學生的綜合成績（包括考試課和考查課兩部分），並給出具體排名。
說明：excel中每門課程名稱後面括號中的資料為該課程的學分。如考試課3（2.5）表示考試課3的學分為2.5。
(2) 結合你所了解的相關情況，確定出綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況和學生民主投票在獎學金評定過程中所佔的權重。
注意，權重應該與學校希望實現的培養目標一致，即各部分的權重應該體現出學校對學生各方面要求的側重，以引導學生按照學校的培養目標確定自己的發展方向。
對**中的資料，說明如下：
為了簡化問題，對於獲獎情況，不管是科技類還是文藝類等方面的獲獎，我們只考慮獲獎級別的差異，而不考慮獲獎內容的差別。
該班級總人數為32，為了得到該班同學的民主測評情況，要求該班級所有同學根據自己的了解，為自己認為各方面表現良好的同學投票。每人至多投10票，表中「學生投票」列是統計得到的每個同學的得票數。
(3) 該班級的獎學金獲獎指標為一等獎1個，二等獎3個，三等獎5個，請給出具體獲獎名單。
(4) 撰寫一篇不超過2頁的獎學金評定說明，向負責獎學金評定的人（如班主任、班長等）闡述你們計算獎學金的主要依據和過程。為了方便獎學金評定操作，建議大部分計算過程最好能夠使用excel完成（評定說明中只要給出具體公式即可，這些公式應該能夠在excel中實現）。如果你的模型中用到的數學方法比較複雜，可以簡化模型的相關內容，以方便具體計算過程，提高模型的實用性。
三、模型的假設
1、、假設第一問中考查課的優秀、良好、中等、及格、不及格五個等級所對應的分數分別為95,85,75,60,50這五個分數；
2、對於獲獎不管是科技類還是文藝類等方面的獲獎，只考慮獲獎級別的差異，不考慮獲獎內容的差別；
3、假設學校的培養目標是確定的，即應該是以學習為主導的。
四、符號說明
（說明：此處只列出部分符號，其餘符號在文中直接闡述出來）
五、問題的分析
5.1問題一的分析：
問題一要求根據所給的相關資料，選擇一種合理的方法，計算出學生的綜合成績（包括考試課和考查課兩部分），並給出具體排名。
由於考試課中的成績是百分制，考查課中的成績是等級制，各科的學分又各不相同，我們先將考查課的等級進行資料量化，都以百分制來量化。
考試課與考查課所佔的權重不相同，所以各因素層間可以運用層次分析法算出最終學生的綜合成績。
最後，根據學生的綜合成績進行排名。
5.2問題二的分析：
問題要求確定出綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況和學生民主投票在獎學金評定過程中所佔的權重以及獎學金的評定結果。在考慮到這些因素時，可以發現這些因素有互相的影響，在題設中要求權重應該與學校希望實現的培養目標一致，即各部分的權重應該體現出學校對學生各方面要求的側重。也就是說，首先可以確定，學校的培養目標應該是以學習為主導，各方面平衡發展的綜合性人才。
那麼就可以說明，在綜合成績方面，它的權重一定是佔主導的。其他幾個項是屬於學業外的綜合素質的發展，由此，很自然的想到應該採用層次分析的方法進行權重的求解。這個方法既能貼近題目的要求，又能順應學校以學習為主導的培養目標，即主觀綜合成績比重大的特點。
然後，通過層次分析中的各因素兩兩比較來得出判斷矩陣，最終通過和法求得各因素的權值。
5.3問題三的分析：
在用層次分析法求出各項權重後，要對各位同學做出綜合的評價，即通過對其排名來確定最終的獎學金評定。由於非資料話得因素，就是要把其各項因素資料化。只有在全部因素資料化的基礎上，才能通過權重來計算每個同學的綜合評定數來確定排名。
因為各因素量綱不同，所以要先將這些資料進行標準化處理。使其量綱一致，最後再運用其權重，計算各學生的最終評定數確定總排名而確定獎學金的評定。
六、模型的準備
6.1層次分析法：
做層次分析的一半步驟如下圖：
圖1：層次分析步驟
即：1、建立層次分析結構模型
深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標—準則或指標—方案或物件）上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。
2、建立各層判斷矩陣
用成對比較法和1-9尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。
3、計算權向量作一致性檢驗
對每一成對比較陣計算最大特徵根和特徵向量，做一致性檢驗，若通過，則特徵向量為權向量。
4、計算組合權向量作組合一致性檢驗（本文中沒有要求最底層的權重，所以不涉及這個步驟）
6.2資料標準化：
資料的標準化有很多種，本文給出一種比較常用的標準化方法。
第一步：先要算各因素的平均值
第二步：計算各因素的標準差
第三步：計算標準化資料
為了簡化計算步驟，本文將大量繁瑣的資料直接在excel中通過excel的內建函式以及人工的程式語言計算出結果，省去其他軟體程式設計的繁瑣步驟，便於此方法在現實生活中的實現。
6.3和法：
取成對比較陣的個行向量歸一化後的算術平均值近似作為權向量，
即：具體計算步驟為：
第一步：將的元素按行歸一化；
第二步：將歸一化的各行相加；
第三步：將相加後的向量除以即得權向量。
類似的還可以用列和歸一化的方法計算權向量。
七、模型的建立與求解
7.1問題一的模型建立與求解：
在解決這個問題時，首先考慮各個考試課與考查課的學分問題。很大程度上來說，我們會普遍認為學分的大小就是其權重大小的反應。但事實上來說，考試課和考查課是兩個大的層次，在這兩個大的層次內部是各科的小層次。
那麼，這些學分其實就是反應此科在這個大層次中的權重大小問題，而不能反應其在總體中的權重大小問題。明白這個問題後，我們就可以解決第乙個問題了。
即：圖2：各因素的層次關係
確定第三層權重時，一般的計算方法為：
和（）但是這樣計算其實與直接用學分當權重計算是一樣的，不會影響排名。所以本文對此權重的計算就拿學分來代替。
在綜合成績的評定上，主要由考試課和考查課這兩部分構成，而考試課與考查課的權重顯然是應該不相同的。在確定考試課與考查課的權重時，可以直接用考試課的總學分和考查課的總學分佔學習目標總學分的比重來確定權重，這樣也符合學校分配學分的導向意義。能夠體現出學校對學業建設的重視，以及學生的本質工作依舊是主修課程的學習。
計算所得為：
那麼很自然的：
那麼我們用學分直接來計算每個同學綜合成績的計算公式如下:
通過excel[1]的計算和降序排序，可以得到如下的排名結果：
表1:綜合成績排名表
初步檢驗：
在對excel表中的資料認識後，發現，學生n的考試課成績全為90分以上，考查課成績全為優秀，並且無其他人達這個程度，那麼此人應該是第一名，這與計算排名後的結果是一致的。再如學生m，其考試課成績全為75.238分，考查課的成績中中等的個數最多，沒有其他人比其差，應該為最後一名。
這前面的計算結果一致，所以初步檢驗結果說明本題的計算結果合理。
所以最終排名結果為：nablifhjckgedm(排名從第一名開始)。
7.2問題二的模型建立與求解：
先對綜合成績、衛生、學生工作、獲獎情況和學生民主投票的相對重要性有個主觀的評價排序上的了解。對於學生來說，學習是最重要的，那麼就把綜合成績視為最重要。其次是在學生工作和獲獎情況的比較問題，學生工作是工作能力方面的體現，獲獎情況是偏向於知識學習方面的，所以暫且認為獲獎情況相對於學生工作稍重要。
對於衛生和學生投票，顯然是投票重要於衛生，這也與學校的培養導向一致，即培養以學習為主導的綜合性人才。
有這樣乙個主觀的認識之後，對下面建立層次分析模型[2]奠定了堅實的基礎。
7.2.1 首先建立層次關係：
需要說明的是，獎學金設有三個獎項，即一二三等獎，而最高層是只有乙個元素。在本文中，可以把三個獎項分開做，相當於有三個層次分析，分別分析了一等獎對學生的選擇情況，二等獎對學生的選擇情況和三等獎對學生的選擇情況。
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機械工程學院本科生綜合獎學金評定細則徵求稿 一 評定原則 綜合獎學金的評定參照 西南交通大學本科獎學金評定辦法 的有關規定執行。二 評定條件 1 道德品質優良，遵守各級規章制度，無處分記錄 2 勤奮學習，成績優良，本學期原始學分績點不低於2.6 3 一 二年級本學期所修學分總數不低於20個，三 四年...