第1章訊號與系統的基本概念
1.1 引言
系統是乙個廣泛使用的概念，指由多個元件組成的相互作用、相互依存的整體。我們學習過「電路分析原理」的課程，電路是典型的系統，由電阻、電容、電感和電源等元件組成。我們還熟悉汽車在路面運動的過程，汽車、路面、空氣組成乙個力學系統。
更為複雜一些的系統如電力系統，它包括若干發電廠、變電站、輸電網和電力使用者等，大的電網可以跨越數千公里。
我們在觀察、分析和描述乙個系統時，總要借助於對系統中一些元件狀態的觀測和分析。例如，在分析乙個電路時，會計算或測量電路中一些位置的電壓和電流隨時間的變化；在分析乙個汽車的運動時，會計算或觀測驅動力、阻力、位置、速度和加速度等狀態變數隨時間的變化。系統狀態變數隨時間變化的關係稱為訊號，包含了系統變化的資訊。
很多實際系統的狀態變數是非電的，我們經常使用各種各樣的感測器，把非電的狀態變數轉換為電的變數，得到便於測量的電訊號。
隱去不同訊號所代表的具體物理意義，訊號就可以抽象為函式，即變數隨時間變化的關係。訊號用函式表示，可以是數學表示式，或是波形，或是資料列表。在本課程中，訊號和函式的表述經常不加區分。
訊號和系統分析的最基本的任務是獲得訊號的特點和系統的特性。系統的分析和描述借助於建立系統輸入訊號和輸出訊號之間關係，因此訊號分析和系統分析是密切相關的。
系統的特性千變萬化，其中最重要的區別是線性和非線性、時不變和時變。這些區別導致分析方法的重要差別。本課程的內容限於線性時不變系統。
我們最熟悉的訊號和系統分析方法是時域分析，即分析訊號隨時間變化的波形。例如，對於乙個電壓測量系統，要判斷測量的準確度，可以直接分析比較被測的電壓波形（測量系統輸入訊號）和測量得到的波形（測量系統輸出訊號），觀察它們之間的相似程度。為了充分地和規範地描述測量系統的特性，經常給系統輸入乙個階躍電壓訊號，得到系統的階躍響應，圖1-1是典型的波形，通過階躍響應的電壓上公升時間（電壓從10％上公升至90％的時間）和過衝（百分比）等特徵量，表述測量系統的特性，上公升時間和過衝越小，系統特性越好。
其中電壓上公升時間反映了系統的響應速度，小的上公升時間對應快的響應速度。如果被測電壓快速變化，而測量系統的響應特性相對較慢，則必然產生較大的測量誤差。
訊號與系統分析的另一種方法是頻域分析。訊號頻域分析的基本原理是把訊號分解為不同頻率三角訊號的疊加，觀察訊號所包含的各頻率分量的幅值和相位，得到訊號的頻譜特性。圖1-2是從時域和頻域觀察乙個週期矩形波訊號的示意圖，由此可以看到訊號頻域和時域的關係。
系統的頻域分析是觀察系統對不同頻率激勵訊號的響應，得到系統的頻率響應特性。頻域分析的重要優點包括：（1）對訊號變化的快慢和系統的響應速度給出定量的描述。
例如，當我們要用乙個示波器觀察乙個訊號時，需要了解訊號的頻譜特性和示波器的模擬頻寬，當示波器的模擬頻寬能夠覆蓋被測訊號的頻率範圍時，可以保證測量的準確。（2）為線性系統分析提供了一種簡化的方法，在時域分析中需要進行的微分或積分運算，在頻域分析中簡化成了代數運算。
訊號和系統分析還有復頻域分析的方法，對於連續訊號和系統，基於拉普拉斯變換，稱為域分析；對於離散訊號和系統，基於變換，稱為域分析。基於復頻域分析，能夠得到訊號和系統響應的特徵引數，即頻率和衰減，分析系統的頻率響應特性和系統穩定性等；復頻域分析也能簡化系統分析，將在時域分析中需要進行的微分或積分運算簡化為復頻域中的代數運算。
本課程將學習訊號和系統分析的基本方法和原理，包括時域分析、頻域分析和復頻域分析。隨著計算機技術和數字訊號處理技術的發展和應用，離散訊號和離散系統的分析方法具有非常廣泛的實際應用。本課程在深入學習連續訊號和系統的分析方法的基礎上，進一步學習離散訊號和系統的分析方法。
訊號和系統分析的重要工具是訊號變換，本課程依據訊號變換方法的內在聯絡，將依次介紹連續週期訊號傅利葉級數（fs）、連續訊號傅利葉變換（ft）、拉普拉斯變換、離散週期訊號傅利葉級數（dfs）、離散時間傅利葉變換（dtft）、變換，以及用於計算機計算的離散傅利葉變換（dft）和快速傅利葉變換（fft）。
1.2 訊號的分類
1.2.1 連續時間訊號和離散時間訊號
連續時間訊號簡稱為連續訊號，在所討論的訊號時間區間內，除了若干不連續點之外，任意時間都有確定的訊號取值。連續訊號的符號表示為，為時間，連續取值。當需要區分連續訊號和離散訊號時，以下標表示連續訊號，表示為。
圖1-3是乙個連續訊號的示意圖。
連續訊號可分為非奇異訊號和奇異訊號。當訊號和訊號的各階導數在整個時間區間都是連續時，稱為非奇異訊號；當訊號或訊號的某階導數存在不連續點（跳變點）時，稱為奇異訊號。注意，如果乙個訊號本身是連續的，但若干次求導以後的導函式存在不連續點，則是奇異訊號。
乙個非奇異訊號和乙個奇異訊號相加或相乘，其結果通常仍為乙個奇異訊號。
離散時間訊號簡稱為離散訊號，在所討論的訊號時間區間內，訊號只在一些離散時間點取值，其他時間無定義。離散訊號的符號表示為，為離散點序數，取整數值。這裡用下標表示離散訊號，以區分連續訊號和離散訊號。
圖1-4是乙個離散訊號的示意圖。注意，在離散點之間，訊號無定義，不要理解為訊號取零值。
離散訊號通常來自於對連續訊號的抽樣，並且經常是等間隔抽樣。相鄰兩個抽樣點之間的時間間隔稱為抽樣週期或抽樣間隔，用表示；單位時間的抽樣點數稱為抽樣率，用表示，有。訊號抽樣滿足關係。
在離散訊號分析中，經常隱去時間的概念，因此也稱為離散序列。
實際中還經常用到模擬訊號和數碼訊號的概念。所謂模擬訊號，訊號的時間和幅值都連續取值。本課程中不區分模擬訊號和連續訊號。
所謂數碼訊號，訊號的時間和幅值都離散取值。實際中的訊號抽樣，由於模數轉換器（a/d轉換器）的位數限制，抽樣得到的離散點的訊號幅值都是離散的，所以是數碼訊號。
1.2.2 週期訊號和非週期訊號
週期訊號是以一定時間間隔週期重複的訊號，無始無終。
連續週期訊號滿足關係
1-1）
稱為連續週期訊號的週期。
離散週期訊號滿足關係
1-2）
取正整數，稱為離散週期訊號的週期。
1.2.3 能量有限訊號和能量無限訊號
乙個連續訊號的能量定義為
1-3）
當為復訊號時，。訊號的能量可理解為：假設是乙個電壓訊號或電流訊號，它作用在乙個1ω電阻上時所消耗的能量為訊號能量。
乙個離散訊號的能量定義為
1-4）
當為復訊號時，。
對於連續訊號和離散訊號，當訊號的能量為有限值時稱為能量有限訊號，否則稱為能量無限訊號。式（1-3）和式（1-4）中取訊號的絕對值，表示訊號能量的定義對復訊號也成立。
1.3 典型訊號
1.3.1 典型連續非奇異訊號
1. 三角訊號
三角訊號有正弦和余弦兩種表示形式，為方便起見，本教材選擇余弦函式的表示方式。三角訊號的一般表示式為
1-5）
式中為訊號幅值，為角頻率，為初始相位。以後在提到三角訊號的初始相位時，均指余弦表示方式下的初始相位。三角訊號的角頻率、頻率和週期滿足關係：。
當三角訊號的角頻率時為直流訊號，直流訊號是三角訊號的乙個特例。圖1-5是乙個三角訊號的典型波形。
2. 指數訊號
指數訊號的表示式為
1-6）
式中和均為實數，為時的訊號幅值，為衰減係數，當時，隨時間增大而增加；當時，隨時間增大而減小。圖1-6是指數訊號的典型波形。
3. 復指數訊號
復指數訊號的表示式為
1-7）
式中和既可為實數也可為複數，有以下幾種情況。
（1）當和都為實數時，就是乙個指數訊號。指數訊號是復指數訊號的乙個特例。
（2）當為實數，為複數時，設
1-8）
有1-9）
根據尤拉公式
1-10a）
1-10b）
於是有1-11）
此時的實部和虛部都是乙個指數包絡的三角函式，複數的實部和虛部分別表示衰減係數和角頻率。當時，有
1-12）
它的實部和虛部都是無衰減的三角函式。
（3）如果和都為複數，設
1-13）
則有1-14）
其實部和虛部分別是乙個指數包絡的三角函式，複數的模和輻角分別表示指數包絡三角函式的幅值和初始相位，複數的實部和虛部分別表示衰減係數和角頻率。
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