集合一.課標要求:
1.集合的含義與表示
(1)通過例項,了解集合的含義,體會元素與集合的「屬於」關係;
(2)能選擇自然語言、圖形語言、集合語言
(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用;
2.集合間的基本關係
(1)理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;
(2)在具體情境中,了解全集與空集的含義;
3.集合的基本運算
(1)理解兩個集合的並集與交集的含義,會求兩個簡單集合的並集與交集;
(2)理解在給定集合中乙個子集的補集的含義,會求給定子集的補集;
(3)能使用venn圖表達集合的關係及運算,體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
二.要點精講
1.集合:某些指定的物件集在一起成為集合.
(1)集合中的物件稱元素,若a是集合a的元素,記作;若b不是集合a的元素,記作;
(2)集合中的元素必須滿足:確定性、互異性與無序性;
確定性:設a是乙個給定的集合,x是某乙個具體物件,則或者是a的元素,或者不是a的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立;
互異性:乙個給定集合中的元素,指屬於這個集合的互不相同的個體(物件),因此,同一集合中不應重複出現同一元素;
無序性:集合中不同的元素之間沒有地位差異,集合不同於元素的排列順序無關;
(3)表示乙個集合可用列舉法、描述法或圖示法;
列舉法:把集合中的元素一一枚舉出來,寫在大括號內;
描述法:把集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號{}內.
具體方法:在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)範圍,再畫一條豎線,在豎線後寫出這個集合中元素所具有的共同特徵.
注意:列舉法與描述法各有優點,應該根據具體問題確定採用哪種表示法,要注意,一般集合中元素較多或有無限個元素時,不宜採用列舉法.
(4)常用數集及其記法:
非負整數集(或自然數集),記作n;
正整數集,記作n*或n+;
整數集,記作z;
有理數集,記作q;
實數集,記作r.
2.集合的包含關係:
(1)集合a的任何乙個元素都是集合b的元素,則稱a是b的子集(或b包含a),記作ab(或);
集合相等:構成兩個集合的元素完全一樣.若ab且ba,則稱a等於b,記作a=b;若ab且a≠b,則稱a是b的真子集,記作a b;
(2)簡單性質:1)aa;2) a;3)若ab,bc,則ac;4)若集合a是n個元素的集合,則集合a有2n個子集(其中2n－1個真子集);
3.全集與補集:
(1)包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集,記作u;
(2)若s是乙個集合,as,則, =稱s中子集a的補集;
(3)簡單性質:1) ()=a;2) s=,=s.
4.交集與並集:
(1)一般地,由屬於集合a且屬於集合b的元素所組成的集合,叫做集合a與b的交集.交集.
(2)一般地,由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合,稱為集合a與b的並集..
注意:求集合的並、交、補是集合間的基本運算,運算結果仍然還是集合,區分交集與並集的關鍵是「且」與「或」,在處理有關交集與並集的問題時,常常從這兩個字眼出發去揭示、挖掘題設條件,結合venn圖或數軸進而用集合語言表達,增強數形結合的思想方法.
5.集合的簡單性質:
(1)(2)(3)(4);
(5) (a∩b)=( a)∪(b), (a∪b)=( a)∩(b).
四種命題和簡易邏輯
一.課標要求:
1.常用邏輯用語
(1)命題及其關係
① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題;② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義,會分析四種命題的相互關係;
(2)簡單的邏輯聯結詞
通過數學例項,了解"或"、"且"、"非"邏輯聯結詞的含義.
(3)全稱量詞與存在量詞
① 通過生活和數學中的豐富例項,理解全稱量詞與存在量詞的意義;
② 能正確地對含有乙個量詞的命題進行否定.
二.要點精講
1.常用邏輯用語
(1)命題
命題:可以判斷真假的語句叫命題;
邏輯聯結詞:「或」「且」「非」這些詞就叫做邏輯聯結詞;簡單命題:不含邏輯聯結詞的命題.復合命題:由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題.
常用小寫的拉丁字母p,q,r,s,……表示命題,故復合命題有三種形式:p或q;p且q;非p.
(2)復合命題的真值
「非p」形式復合命題的真假可以用下表表示:
「p且q」形式復合命題的真假可以用下表表示:
「p且q」形式復合命題的真假可以用下表表示:
注:1°像上面表示命題真假的表叫真值表;2°由真值表得:「非p」形式復合命題的真假與p的真假相反;「p且q」形式復合命題當p與q同為真時為真,其他情況為假;「p或q」形式復合命題當p與q同為假時為假,其他情況為真;3°真值表是根據簡單命題的真假,判斷由這些簡單命題構成的復合命題的真假,而不涉及簡單命題的具體內容.
(3)四種命題
如果第乙個命題的條件是第二個命題的結論,且第乙個命題的結論是第二個命題的條件,那麼這兩個命題叫做互為逆命題;
如果乙個命題的條件和結論分別是原命題的條件和結論的否定,那麼這兩個命題叫做互否命題,這個命題叫做原命題的否命題;
如果乙個命題的條件和結論分別是原命題的結論和條件的否定,那麼這兩個命題叫做互為逆否命題,這個命題叫做原命題的逆否命題.
兩個互為逆否命題的真假是相同的,即兩個互為逆否命題是等價命題.若判斷乙個命題的真假較困難時,可轉化為判斷其逆否命題的真假.
(4)條件
一般地,如果已知pq,那麼就說:p是q的充分條件;q是p的必要條件.
可分為四類:(1)充分不必要條件,即pq,而qp;(2)必要不充分條件,即pq,而qp;(3)既充分又必要條件,即pq,又有qp;(4)既不充分也不必要條件,即pq,又有qp.
一般地,如果既有pq,又有qp,就記作:pq.「」叫做等價符號.pq表示pq且qp.
這時p既是q的充分條件,又是q的必要條件,則p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.
(5)全稱命題與特稱命題
這裡,短語「所有」在陳述中表示所述事物的全體,邏輯中通常叫做全稱量詞,並用符號表示.含有全體量詞的命題,叫做全稱命題.
短語「有乙個」或「有些」或「至少有乙個」在陳述中表示所述事物的個體或部分,邏輯中通常叫做存在量詞,並用符號表示,含有存在量詞的命題,叫做存在性命題.
函式概念與表示
一.課標要求
1.通過豐富例項,進一步體會函式是描述變數之間的依賴關係的重要數學模型,在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函式,體會對應關係在刻畫函式概念中的作用;了解構成函式的要素,會求一些簡單函式的定義域和值域;了解對映的概念;
2.在實際情境中,會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函式;
3.通過具體例項,了解簡單的分段函式,並能簡單應用;
4.通過已學過的函式特別是二次函式,理解函式的單調性、最大(小)值及其幾何意義;結合具體函式,了解奇偶性的含義;
5.學會運用函式圖象理解和研究函式的性質.
二.要點精講
1.函式的概念:
設a、b是非空的數集,如果按照某個確定的對應關係f,使對於集合a中的任意乙個數x,在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式.記作:
y=f(x),x∈a.其中,x叫做自變數,x的取值範圍a叫做函式的定義域;與x的值相對應的y值叫做函式值,函式值的集合叫做函式的值域.
注意:(1)「y=f(x)」是函式符號,可以用任意的字母表示,如「y=g(x)」;
(2)函式符號「y=f(x)」中的f(x)表示與x對應的函式值,乙個數,而不是f乘x.
2.構成函式的三要素:定義域、對應關係和值域
(1)解決一切函式問題必須認真確定該函式的定義域,函式的定義域包含三種形式:
①自然型:指函式的解析式有意義的自變數x的取值範圍(如:分式函式的分母不為零,偶次根式函式的被開方數為非負數,對數函式的真數為正數,等等);
②限制型:指命題的條件或人為對自變數x的限制,這是函式學習中重點,往往也是難點,因為有時這種限制比較隱蔽,容易犯錯誤;
③實際型:解決函式的綜合問題與應用問題時,應認真考察自變數x的實際意義.
(2)求函式的值域是比較困難的數學問題,中學數學要求能用初等方法求一些簡單函式的值域問題.
①配方法(將函式轉化為二次函式);②判別式法(將函式轉化為二次方程);③不等式法(運用不等式的各種性質);④函式法(運用基本函式性質,或抓住函式的單調性、函式圖象等).
3.兩個函式的相等:
函式的定義含有三個要素,即定義域a、值域c和對應法則f.當函式的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之後,函式的值域也就隨之確定.因此,定義域和對應法則為函式的兩個基本條件,當且僅當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時,這兩個函式才是同乙個函式.
4.區間
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間;
(2)無窮區間;
(3)區間的數軸表示.
5.對映的概念
一般地,設a、b是兩個非空的集合,如果按某乙個確定的對應法則f,使對於集合a中的任意乙個元素x,在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:ab為從集合a到集合b的乙個對映.記作「f:
ab」.
函式是建立在兩個非空數集間的一種對應,若將其中的條件「非空數集」弱化為「任意兩個非空集合」,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關係,這種的對應就叫對映.
注意:(1)這兩個集合有先後順序,a到b的射與b到a的對映是截然不同的.其中f表示具體的對應法則,可以用漢字敘述.
(2)「都有唯一」什麼意思?
包含兩層意思:一是必有乙個;二是只有乙個,也就是說有且只有乙個的意思.
6.常用的函式表示法
(1)解析法:就是把兩個變數的函式關係,用乙個等式來表示,這個等式叫做函式的解析表示式,簡稱解析式;
(2)列表法:就是列出**來表示兩個變數的函式關係;
(3)圖象法:就是用函式圖象表示兩個變數之間的關係.
7.分段函式
若乙個函式的定義域分成了若干個子區間,而每個子區間的解析式不同,這種函式又稱分段函式;
8.復合函式
若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那麼y=f[g(x)]稱為復合函式,u稱為中間變數,它的取值範圍是g(x)的值域.
高中數學知識點
專題一集合與簡易邏輯 8 10 一 知識點歸納 一 集合 1 集合元素的三性 確定性 互異性 無序性。2 集合的三種表示方法 列舉法 圖示法 描述法 3 空集是任何集合的子集 是非空集合的真子集。4 集合按元素的個數可分為兩類 有限集 無限集 5 正整數集 自然數集 整數集 有理數集 實數集 複數集...
高中數學秘籍 高中數學知識點總結
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